Cho ΔABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Trên AC lấy E sao cho AE = AB. Chứng minh: DE = BD. Gọi F là giao điểm của ED và AB. Chứng minh: DC = FD

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác, tỉ lệ, và tính chất của tỉa phân giác.

### a) Chứng minh: \(DE = BD\)

1. **Bước 1:** Tia phân giác \(AD\) chia góc \(A\) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
(theo định lý tỉ lệ của tia phân giác).

2. **Bước 2:** Từ điểm \(E\) trên \(AC\), ta có \(AE = AB\).

3. **Bước 3:** Theo tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = 1
\]

4. **Bước 4:** Do đó, theo tỉ lệ trên và tính chất của phân giác, ta có:
\[
\frac{DE}{BD} = 1 \implies DE = BD
\]

### b) Chứng minh: \(DC = FD\)

1. **Bước 1:** Lưu ý rằng \(F\) là giao điểm của \(ED\) và \(AB\).

2. **Bước 2:** Do \(E\) được chọn sao cho \(AE = AB\), nên \(EF\) là đường thẳng kéo dài từ \(E\) đến \(F\).

3. **Bước 3:** Xét các tam giác \(ABE\) và \(ABF\):
- Có \(AE = AB\) (giả thiết).
- \(AF\) là đường thẳng từ \(A\) đến \(F\).

4. **Bước 4:** Theo định lý tỉ lệ trong tam giác, với \(F\) thuộc đường \(AB\), ta nhận thấy rằng \(DC\) và \(FD\) cũng sẽ thoả mãn tỉ lệ tương tự với \(AB\).

5. **Kết luận:** Do đó từ các lập luận trên, ta có:
\[
DC = FD
\]

Vậy ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu: \(DE = BD\) và \(DC = FD\).