Cho △ABC nhọn có trung tuyến AD. Gọi M là điểm thuộc tia AD sao cho D là trung điểm của AM. a) Chứng minh △ADC = △MDB. Từ đó suy ra BM // AC; b) Gọi N là trung điểm của AC. Đường thẳng ND cắt MB tại K. Chứng minh D là trung điểm của KN

Để chứng minh bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự.

### a) Chứng minh △ADC = △MDB và suy ra BM // AC

1. **Xét hai tam giác △ADC và △MDB**:
- Ta có:
- \( AD = MD \) (D là trung điểm của AM).
- \( DC = DB \) (vì D là trung điểm của AB).
- Cả hai tam giác đều có góc ACD = BDC (góc chung).

2. **Suy ra**:
- Theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG), ta có:
\[
△ADC \cong △MDB.
\]

3. **Kết luận**:
- Từ đó, suy ra \( BM \parallel AC \) (tính chất của hai đường thẳng song song).

### b) Chứng minh D là trung điểm của KN

1. **Gọi N là trung điểm của AC**, suy ra \( AN = NC \).

2. **Đường thẳng ND cắt MB tại K**:
- Xét △ADC và △MDB đã chứng minh ở trên. Vì \( D \) là trung điểm của \( AM \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), ta sẽ sử dụng tỷ lệ để chứng minh.

3. Ta thấy rằng:
- \( DK \) và \( NC \), hai đoạn thẳng này sẽ có tỉ lệ bằng nhau do \( D \) và \( N \) là các trung điểm.

4. **Kết luận**:
- Do đó, suy ra \( D \) là trung điểm của \( KN \).

### c) Chứng minh ba đường thẳng AD, CE, NI đồng quy

1. **Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AK và AB**.

2. **Chứng minh AD, CE, NI đồng quy**:
- Theo định lý Menelaus cho tam giác AKI với đường thẳng CE: Khi I và E là trung điểm, đường thẳng CE sẽ chia tam giác AKI thành hai phần với tỉ lệ bằng nhau.

3. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có thể nói rằng ba đường thẳng \( AD, CE, NI \) đồng quy tại một điểm.

Hy vọng các bước trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh trong bài toán này!