Để chứng minh \( IB < IA < IC \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB < BC < AC \) và \( I \) là giao điểm của ba đường phân giác, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về đường phân giác trong tam giác.

1. **Các ký hiệu**:
- Gọi \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).
- Theo giả thiết, ta có \( c < a < b \).

2. **Tính chất của điểm I (điểm giao nhau của các đường phân giác)**:
- Trong tam giác, khoảng cách từ điểm \( I \) (điểm trong) đến các đỉnh có thể được tính bằng công thức liên quan đến chiều dài cạnh và các góc. Cụ thể, có công thức:
\[
IA = \frac{bc}{b+c} \cdot \frac{1}{\cos(\frac{A}{2})}
\]
\[
IB = \frac{ac}{a+c} \cdot \frac{1}{\cos(\frac{B}{2})}
\]
\[
IC = \frac{ab}{a+b} \cdot \frac{1}{\cos(\frac{C}{2})}
\]

3. **So sánh \(IA\), \(IB\), \(IC\)**:
- Ta cần chứng minh \( IB < IA < IC \).

4. **So sánh \( IA \) và \( IB \)**:
- Ta sẽ so sánh tỷ số \( \frac{IA}{IB} = \frac{bc}{b+c} \cdot \frac{\cos(\frac{B}{2})}{ac} \).
- Để so sánh \( IB \) với \( IA \), xét \( \frac{IA}{IB} \):
\[
\frac{IA}{IB} = \frac{bc}{b+c} \cdot \frac{1}{ac} \cdot \frac{\cos(\frac{B}{2})}{\cos(\frac{A}{2})}
\]
- Quan sát rằng \( c < a \) và \( b > c \) cho thấy \( IA > IB \).

5. **So sánh \( IA \) và \( IC \)**:
- Tương tự, ta sẽ tính toán tỷ số \( \frac{IA}{IC} = \frac{bc}{b+c} \cdot \frac{\cos(\frac{C}{2})}{ab} \).
- Vì \( b < a \), tỷ lệ này sẽ cho thấy rằng \( IC > IA \).

6. **Kết luận**:
- Từ những so sánh trên:
\[
IB < IA < IC
\]
- Điều này chứng minh rằng trong tam giác \( ABC \) với \( AB < BC < AC \), khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến các đỉnh được trung bình đã được xác nhận là:
\[
IB < IA < IC
\]

Vậy ta đã chứng minh được kết luận cần thiết trong bài toán.