Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập một số biến và phương trình.

Gọi \( v \) là vận tốc ban đầu của người đi xe đạp (đơn vị km/h).
Thời gian dự kiến để đi từ A đến B là \( t \) giờ.

Khi người đó còn cách B 30 km, thời gian còn lại để đến B với vận tốc ban đầu \( v \) là:

\[
\frac{30}{v}
\]

Theo đề bài, nếu giữ nguyên vận tốc, người đó sẽ đến B muộn nửa giờ, tức là:

\[
\frac{30}{v} = t + 0.5
\]

Sau khi tăng vận tốc thêm 5 km/h, vận tốc mới là \( v + 5 \) km/h. Thời gian còn lại để đến B với vận tốc này là:

\[
\frac{30}{v + 5}
\]

Theo đề bài, khi tăng vận tốc, người đó đến B sớm hơn nửa giờ so với dự định, tức là:

\[
\frac{30}{v + 5} = t - 0.5
\]

Chúng ta đã có hai phương trình:

1. \( \frac{30}{v} = t + 0.5 \)
2. \( \frac{30}{v + 5} = t - 0.5 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình 1, ta có:

\[
t = \frac{30}{v} - 0.5
\]

Thay \( t \) vào phương trình 2:

\[
\frac{30}{v + 5} = \left( \frac{30}{v} - 0.5 \right) - 0.5
\]

Rút gọn phương trình:

\[
\frac{30}{v + 5} = \frac{30}{v} - 1
\]

Nhân chéo hai vế:

\[
30v = (30 - v - 5) (v + 5)
\]

Rút gọn thành:

\[
30v = (25 - v)(v + 5)
\]

Mở ngoặc:

\[
30v = 25v + 125 - v^2 - 5v
\]

Chuyển tất cả các phần tử về một bên:

\[
0 = -v^2 + 30v - 25v - 125
\]
\[
0 = -v^2 + 5v - 125
\]
\[
v^2 - 5v + 125 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:

\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 1, b = -5, c = -125 \), vậy:

\[
b^2 - 4ac = 25 + 500 = 525
\]

Vì vậy:

\[
v = \frac{5 \pm \sqrt{525}}{2}
\]

Tính \( \sqrt{525} \approx 22.9 \):

\[
v \approx \frac{5 \pm 22.9}{2}
\]

Giải ra hai giá trị:

1. \( v \approx \frac{27.9}{2} \approx 13.95 \)
2. \( v \approx \frac{-17.9}{2} \) (không thể có giá trị âm)

Như vậy, vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là khoảng:

**14 km/h**.