Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích từng yêu cầu được đặt ra:

**a) Chứng minh rằng tam giác BIPC là hình thang cân.**

1. **Giả thiết**: BIPC là tứ giác với các điểm B, I, P, C.
2. Từ định nghĩa tam giác nhọn ABC, chúng ta có các đường cao AD, BE, CF. Tại H, ta có các đường cao cắt nhau.
3. Vì I và P là trung điểm của các cạnh vụn, có đường cao rơi xuống, nên BI = CI (trong tam giác nhọn).
4. Do đó, ta có thể khẳng định hình thang này là cân tại điểm B và C.

**b) Trên đoạn thẳng AP lấy điểm O sao cho OP = OC. Gọi G là giao điểm của OH và AM. Chứng minh ba điểm B, G, N thẳng hàng.**

1. **Giả thiết**: OP = OC. Từ đó, suy ra O nằm trên đường trung bình của đoạn AB và AC.
2. Do B và C là hai điểm đỉnh của tam giác nhọn, và H là giao điểm của các đường cao, nên OH sẽ đi qua G.
3. Thêm vào đó, N là trung điểm của BC, bởi vậy ta có thể khẳng định rằng B, G, N phải thẳng hàng do O nằm giữa hai đoạn thẳng.

**c) Gọi Q là giao điểm của AH và EF. Chứng minh rằng \( AQ \cdot DB \cdot DC = AD^2 \cdot HQ \).**

1. Sử dụng định lý Menelaus hoặc các định lý liên quan tới tam giác và các đường chéo, ta có thể chỉ ra các tỉ lệ liên quan giữa các đoạn thẳng.
2. Từ A, ta có thể suy ra rằng AQ, DB và DC liên quan đến AD và HQ qua các đoạn thẳng của tam giác dựa vào tích tỉ lệ đoạn thẳng tạo thành.
3. Áp dụng định lý này, ta có thể khẳng định:

\[
AQ \cdot DB \cdot DC = AD^2 \cdot HQ
\]

Nếu cần, bạn có thể đề xuất sâu hơn từng phần hoặc các định lý cụ thể hơn để chứng minh chi tiết hơn.