Để tính \(\tan\left(\frac{B}{2}\right)\) cho tam giác vuông tại \(A\) với điều kiện \(AC = 5\) cm và \(AB + BC = 8\) cm, chúng ta có thể sử dụng định lý liên quan tới tỉ số của cạnh đối diện và cạnh kề trong tam giác vuông.

Gọi:
- \(AB = c\)
- \(BC = a\)

Theo đề, ta có:

\[
c + a = 8
\]

Trong tam giác vuông \(ABC\), theo định lý Pitago, ta có:

\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]

Thay số, ta có:

\[
5^2 + c^2 = a^2
\]
\[
25 + c^2 = a^2
\]

Từ phương trình \(a = 8 - c\), thay vào phương trình Pitago:

\[
25 + c^2 = (8 - c)^2
\]

Giải phương trình trên:

\[
25 + c^2 = 64 - 16c + c^2
\]
\[
25 = 64 - 16c
\]
\[
16c = 64 - 25
\]
\[
16c = 39
\]
\[
c = \frac{39}{16} = 2.4375 \text{ cm}
\]

Tính \(a\):

\[
a = 8 - c = 8 - \frac{39}{16} = \frac{128}{16} - \frac{39}{16} = \frac{89}{16} \text{ cm}
\]

Bây giờ tính các đạo hàm cần thiết cho định lý về \(\tan\left(\frac{B}{2}\right)\):

\[
\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}}
\]

Với \(s\) là nửa chu vi của tam giác, ta tính như sau:

\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{(8)}{2} = 4 \text{ cm}
\]

Thay vào công thức:

\[
\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}}
\]

Chú ý rằng ở đây, \(b = AC = 5\), \(s = 4\):

\[
\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \sqrt{\frac{(4 - a)(4 - c)}{4(4 - 5)}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{(4 - \frac{89}{16})(4 - \frac{39}{16})}{4(4 - 5)}}
\]

Tuy nhiên \( 4(4 - 5) < 0\) làm cho định nghĩa này không hợp lệ.

Chính vì vậy ta giải theo cách khác:
\[
\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{AC}{AB + BC} = \frac{5}{8}
\]

Cuối cùng:

\[
\tan\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{5}{8}
\]