Xét dấu của biểu thức M = a*(căn a/(1+a)^3 -1/2)

Để xét dấu của biểu thức \( M = a \left( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} - \frac{1}{2} \right) \), ta cần phân tích các thành phần của biểu thức:

1. **Phần đầu**: \( a \) có dấu phụ thuộc vào giá trị của \( a \):
- Nếu \( a > 0 \): \( a > 0 \)
- Nếu \( a = 0 \): \( a = 0 \)
- Nếu \( a < 0 \): \( a < 0 \)

2. **Phần thứ hai**: \( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} - \frac{1}{2} \) chỉ xác định khi \( a \geq 0 \) (vì có \(\sqrt{a}\)). Ta sẽ xét trường hợp này:

- Khi \( a = 0 \):
\[
\frac{\sqrt{0}}{(1+0)^3} - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Vậy \( M = 0 \cdot (-\frac{1}{2}) = 0 \).

- Khi \( a > 0 \), ta cần tìm dấu của \( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} - \frac{1}{2} \).

Để làm điều này, ta cần giải phương trình:
\[
\frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} = \frac{1}{2}
\]
Từ đó, ta có:
\[
\sqrt{a} = \frac{1}{2}(1+a)^3
\]
Bình phương cả hai vế:
\[
a = \frac{1}{4}(1+a)^6
\]

Đề bài này khá phức tạp và việc tìm nghiệm sẽ cần sử dụng đồ thị hoặc các phương pháp số để tìm ra giá trị \( a \) mà tại đó hai vế bằng nhau.

3. **Xét dấu của \( M \)**:
- Khi \( a = 0 \): \( M = 0 \)
- Khi \( a > 0 \):
- Nếu \( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} > \frac{1}{2} \): \( M > 0 \)
- Nếu \( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} < \frac{1}{2} \): \( M < 0 \).

4. **Tóm tắt**:
- \( M = 0 \) khi \( a = 0 \)
- \( M > 0 \) hoặc \( M < 0 \) tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \( a \).
- Để xác định được точно, ta cần giải phương trình và tìm các điểm phân cách dấu cho \( M \).

Tóm lại, để xét dấu của biểu thức \( M \), bạn cần xác định các giá trị của \( a \) mà làm cho \( \frac{\sqrt{a}}{(1+a)^3} \) lớn hơn hoặc nhỏ hơn \( \frac{1}{2} \).