Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M bất kì

### Giải bài 14

Cho hình vuông \( ABCD \) với \( M \) thuộc \( AB \) sao cho \( 0 < MB < MA \) và trên \( BC \) lấy \( N \) sao cho \( MON = 90^\circ \). \( E \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).

#### a) Chứng minh \( AMON \) vuông cạnh.

1. **Tính chất góc vuông:**
- Từ điều kiện \( MON = 90^\circ \), có \( MO \perp ON \).

2. **Xem xét tam giác vuông:**
- Trong tam giác \( AMO \) với \( OM \) và \( AO \) (vì \( AO \) là cạnh của hình vuông), từ đó ta có:

\[
AM^2 + MO^2 = AO^2 \quad (1)
\]

(Điều này là đúng vì \( A \), \( M \), \( O \) nằm cùng một mặt phẳng).

3. **Ta cũng biết \( AN = AM + MN \)**. Nhờ đó, ta có thể chứng minh.

#### b) Chứng minh \( \frac{MN}{BE} = \frac{BK}{OC} \).

- Xét các tam giác \( AMO \), \( BKN \), và \( CNO \):

Đối với \( AMO \) và \( BKN \), từ tỷ số giữa cặp cạnh tương ứng, ta có:

\[
\frac{MN}{BE} = \frac{KC}{KB} = \frac{CN}{BH} = 1\, (từ điều kiện đồng dạng)
\]

#### c) Qua \( K \) vẽ đường song song với \( OM \) cắt \( BC \) tại \( H \). Chứng minh \( \frac{KC}{KB} = \frac{CN}{BH} = 1 \).

- Từ điều kiện song song, ta có:

\[
\frac{KC}{KB} = \frac{CN}{BH}
\]

Thực hiện tính toán chi tiết sẽ cho thấy điều này đúng.

#### Bài 15
Cho hình hộp chữ nhật \( ABCD \) có \( O \) là giao điểm của đường chéo \( AD \) và \( CD \).

**a)** \( \triangle ADOE \) là hình bình hành.

- Chứng minh các cạnh đối diện và các góc đối diện của hình này đều bằng nhau.

**b)** Điểm \( G, I, M \) thẳng hàng, do cùng nằm trên đường thẳng \( DE \).

**c)** Ba đường thẳng \( AC, CD, MN \) đồng quy, cần chứng minh chúng gặp nhau ở một điểm chung.

**d)** Dùng định lý Pythagore để chứng minh:

\[
12 \cdot EH \cdot ED = 4BD^2 + AC^2
\]

### Bài 16
1. Cho hình vuông \( ABCD \) trên các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) lần lượt lấy điểm \( M, N, P, Q \) sao cho \( AM = CP = DQ \).

**a)** Chứng minh \( MNQP \) hình vuông.

- Tính các cạnh và các góc của tứ giác để chứng minh.

Chú ý các yếu tố vuông góc và khoảng cách giữa các điểm.

Hy vọng hướng dẫn này giúp ích cho bạn! Hãy thử thực hiện các bước tính toán cụ thể để hoàn thiện bài làm.