Để chứng minh rằng CM là phân giác của góc ACB trong tam giác ABC cân tại A với \(\angle A = 108^\circ\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý về góc.

1. **Tính góc ACB:**
Trong tam giác ABC cân tại A, ta có:
\[
\angle ABC = \angle ACB
\]
Gọi \(\angle ABC = \angle ACB = x\). Khi đó, theo tổng các góc trong tam giác ABC, ta có:
\[
\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
\]
\[
108^\circ + x + x = 180^\circ
\]
\[
2x = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \implies x = 36^\circ
\]
Vậy \(\angle ABC = \angle ACB = 36^\circ\).

2. **Góc MAB và MBA:**
Theo đề bài, ta biết rằng:
\[
\angle MAB = 30^\circ, \quad \angle MBA = 12^\circ
\]

Từ đó, ta có thể tính góc AMB:
\[
\angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - (30^\circ + 12^\circ) = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ
\]

3. **Tính góc ACB:**
Chúng ta đã thấy rằng \(\angle ACB = 36^\circ\).

4. **Góc MCB:**
Để chứng minh CM là phân giác của góc ACB, ta cần chỉ ra rằng:
\[
\frac{\angle MBC}{\angle MCB} = \frac{AB}{AC}
\]

Tính góc MBC:
\[
\angle MBC = \angle ABC - \angle MBA = 36^\circ - 12^\circ = 24^\circ
\]

Tính góc MCB:
Ta có:
\[
\angle ACB = 36^\circ \implies \angle MCB = \angle ACB - \angle MAB = 36^\circ - 30^\circ = 6^\circ
\]

5. **Sử dụng định lý phân giác:**
Ta tính tỉ lệ:
\[
\frac{\angle MBC}{\angle MCB} = \frac{24^\circ}{6^\circ} = 4
\]
Trong tam giác ABC cân, thì:
\[
\frac{AB}{AC} = 1 \quad (\text{vì } ABC \text{ cân ở } A)
\]

Như vậy tỉ lệ \(\frac{\angle MBC}{\angle MCB} = 4\) không phù hợp với tỉ lệ bên \(AB\) và \(AC\).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \(CM\) không phải là phân giác của góc \(ACB\). Cần xem lại các tính toán cụ thể để xác định rõ hơn.

Thực tế, có thể có sự khác biệt nào đó trong việc tính toán hoặc phân tích. Một trường hợp có thể làm rõ điểm M di chuyển hoặc xác định các góc liên quan đến CM.

Tóm lại, qua các bước tính toán nói trên ta không chứng minh được rằng CM là phân giác của ACB mà cần một cách tiếp cận khác để rõ hơn về tỉ lệ liên hệ giữa CM với các cạnh còn lại trong tam giác.