Để tìm các cặp số tự nhiên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + (2y - 2)^2 = 25 \), trước tiên, ta chuyển đổi biểu thức:

1. Tìm các giá trị của \( x \) mà \( x^2 \) có thể nhận.
2. Tính giá trị tương ứng của \( (2y - 2)^2 \).

Ta có:

\[ (2y - 2)^2 = 25 - x^2 \]

Do đó, ta cần \( 25 - x^2 \geq 0 \), tức là \( x^2 \leq 25 \). Vì vậy, \( x \) có thể nhận các giá trị tự nhiên từ \( 0 \) đến \( 5 \).

Ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( x \):

- **Khi \( x = 0 \):**
\[
0^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 25 \\
2y - 2 = \pm 5 \\
\]
- \( 2y - 2 = 5 \) dẫn đến \( 2y = 7 \) hay \( y = 3.5 \) (không phải số tự nhiên)
- \( 2y - 2 = -5 \) dẫn đến \( 2y = -3 \) (không hợp lệ)

- **Khi \( x = 1 \):**
\[
1^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
1 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 24 \\
\]
- \( 2y - 2 = \pm 2\sqrt{6} \) (không cho giá trị nguyên)

- **Khi \( x = 2 \):**
\[
2^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
4 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 21 \\
\]
- \( 2y - 2 = \pm \sqrt{21} \) (cũng không cho giá trị nguyên)

- **Khi \( x = 3 \):**
\[
3^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
9 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 16 \\
\]
- \( 2y - 2 = \pm 4 \)
- \( 2y - 2 = 4 \) dẫn đến \( 2y = 6 \) hay \( y = 3 \) (đây là một cặp hợp lệ: \( (3, 3) \))
- \( 2y - 2 = -4 \) dẫn đến \( 2y = -2 \) (không hợp lệ)

- **Khi \( x = 4 \):**
\[
4^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
16 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 9 \\
\]
- \( 2y - 2 = \pm 3 \)
- \( 2y - 2 = 3 \) dẫn đến \( 2y = 5 \) hay \( y = 2.5 \) (không hợp lệ)
- \( 2y - 2 = -3 \) dẫn đến \( 2y = -1 \) (không hợp lệ)

- **Khi \( x = 5 \):**
\[
5^2 + (2y - 2)^2 = 25 \\
25 + (2y - 2)^2 = 25 \\
(2y - 2)^2 = 0 \\
\]
- \( 2y - 2 = 0 \) dẫn đến \( y = 1 \) (cặp hợp lệ: \( (5, 1) \))

Từ các phân tích trên, ta có các cặp số tự nhiên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
1. \( (3, 3) \)
2. \( (5, 1) \)

Vậy các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn là \( (3, 3) \) và \( (5, 1) \).