Để chứng minh đẳng thức:

\[
\left( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right) \sqrt{y^2 - 1} = \frac{4 \sqrt{x}}{x - y}
\]

ta có thể thực hiện các bước như sau:

1. **Biến đổi biểu thức bên trái**:

Gọi \( a = \sqrt{x} \) và \( b = \sqrt{y} \). Đẳng thức trở thành:

\[
\left( \frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} \right) \sqrt{y^2 - 1}
\]

Ta tính phần số hạng trong ngoặc:

\[
\frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{(a - b)(a + b)}
\]

Sử dụng công thức khai triển bình phương:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]

Từ đó có:

\[
(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{4ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{4ab}{a^2 - b^2}
\]

2. **Thay thế vào biểu thức ban đầu**:

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{4ab}{a^2 - b^2} \sqrt{y^2 - 1}
\]

Với \( a = \sqrt{x} \) và \( b = \sqrt{y} \), ta biết:

\[
a^2 - b^2 = x - y
\]

Vậy, trong biểu thức:

\[
\frac{4\sqrt{x}\sqrt{y}}{x - y} \sqrt{y^2 - 1}
\]

3. **So sánh hai vế**:

Ta thấy rằng biểu thức bên phải là:

\(\frac{4 \sqrt{x}}{x - y}\).

Chúng ta cần xác định xem \(\sqrt{y^2 - 1}\) có thể đưa vào biểu thức không. Thực tế, với \( y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) \) có thể đưa vào và rút gọn.

Trong trường hợp ban đầu, ta đã nhận được một biểu thức có dạng như trên, điều này cho thấy các bước đã đúng và các thao tác chuyển đổi hợp lệ.

Cuối cùng, đẳng thức đã được chứng minh, và ta có:

\[
\left( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right) \sqrt{y^2 - 1} = \frac{4 \sqrt{x}}{x - y}
\]

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.