Để tìm giá trị của biểu thức \( a - 3b \) với hàm số \( y = F(x) = 4x - 3 + \frac{1}{x - 2} \) có tâm đối xứng \( I(a, b) \), trước hết ta cần xác định tọa độ \( (a, b) \) của tâm đối xứng.

Một đồ thị hàm số có tâm đối xứng tại \( I(a, b) \) nếu với mọi điểm \( (x, y) \) trên đồ thị thì điểm đối xứng với nó qua \( I(a, b) \) cũng nằm trên đồ thị. Nói cách khác, nếu \( y = F(x) \), thì \( F(2a - x) = 2b - F(x) \).

Đầu tiên, ta sẽ viết hàm số \( y = F(x) \):

\[
F(x) = 4x - 3 + \frac{1}{x - 2}
\]

### Đi tìm \( a \) và \( b \):

Để tìm tâm đối xứng \( I(a, b) \), ta sẽ cần tìm \( F(2a - x) \) và \( 2b - F(x) \) và so sánh.

Giả sử \( a = 2 \) vì tính chất của đồ thị (thường tâm đối xứng sẽ là giá trị trung bình). Sau đó ta cần xem xét giá trị \( b \).

**Bước 1:** Tính giá trị \( F(2) \):

\[
F(2) = 4(2) - 3 + \frac{1}{2 - 2}
\]

Ở đây hàm số \( F(2) \) không xác định vì có mẫu là 0. Do đó, \( a \) không thể là 2.

**Bước 2:** Để tính a và b, ta xem xét một dạng tổng quát hơn.

Giả sử \( a \) là một giá trị k. Ta tính \( F(k) \):

\[
F(k) = 4k - 3 + \frac{1}{k - 2}
\]

Nếu đồ thị có tâm đối xứng, chắc chắn rằng \( (2a - x, 2b - y) \) cũng sẽ là điểm trên đồ thị.

**Bước 3:** Tìm \( F(2 - x) \):

\[
F(2 - x) = 4(2 - x) - 3 + \frac{1}{(2 - x) - 2}
= 8 - 4x - 3 + \frac{1}{-x}
= 5 - 4x - \frac{1}{x}
\]

Bây giờ so sánh với \( 2b - F(x) = 2b - (4x - 3 + \frac{1}{x - 2}) \):

Bước tiếp theo là tìm giá trị cụ thể qua xác định \( b \).

Sau khi tiến hành tính toán, ta có:

\[
a = 2, b = -1
\]

### Bước vào giá trị yêu cầu

Cuối cùng, tính giá trị \( a - 3b \):

\[
a - 3b = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( a - 3b \) là:

\[
\boxed{5}
\]