Để giải phương trình \( 2x^2 + 9y^2 - 6xy + 2x - 12y + 5 = 0 \) và tìm các giá trị của \( x \) và \( y \), chúng ta có thể biến đổi nó thành dạng chuẩn hơn để dễ dàng phân tích.

Phương trình trên có 2 biến, nên chúng ta sẽ cố gắng tìm nghiệm theo từng biến:

1. **Biến đổi theo \( x \)**:
Ta coi \( y \) như một hằng số và viết lại phương trình theo biến \( x \):

\[
2x^2 - 6xy + (9y^2 - 12y + 5) = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo \( x \):

\[
2x^2 - 6xy + (9y^2 - 12y + 5) = 0
\]

Để có thể giải được phương trình bậc hai này, trước tiên ta phải kiểm tra điều kiện trên định thức (discriminant):

Gọi \( a = 2 \), \( b = -6y \), và \( c = 9y^2 - 12y + 5 \).

Định thức \( D \) sẽ là:

\[
D = b^2 - 4ac = (-6y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (9y^2 - 12y + 5)
\]
\[
D = 36y^2 - 8(9y^2 - 12y + 5) = 36y^2 - 72y^2 + 96y - 40
\]
\[
D = -36y^2 + 96y - 40
\]

Để phương trình có nghiệm, điều kiện là \( D \geq 0 \):

\[
-36y^2 + 96y - 40 \geq 0
\]

*Chuyển đổi về phương trình bậc 2 và giải:*

\[
36y^2 - 96y + 40 \leq 0
\]

Tính định thức của phương trình bậc hai này:

\[
D' = (-96)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 40 = 9216 - 5760 = 3456 > 0
\]

Với định thức dương có 2 nghiệm:

\[
y = \frac{96 \pm \sqrt{3456}}{72} = \frac{96 \pm 12\sqrt{24}}{72} = \frac{4 \pm \frac{1}{6}\sqrt{24}}{3} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{3}
\]

2. **Thay \( y \) và giải tiếp tìm \( x \)**:

Với các giá trị của \( y \), ta sẽ lần lượt thay vào phương trình bậc hai ban đầu để tìm giá trị của \( x \).

Tuy nhiên, để giải một cách đơn giản hơn, bạn hãy xác định \( y \) dự đoán trước để tìm nghiệm cụ thể hoặc sử dụng phần mềm tính toán để tìm nghiệm gần đúng hoặc chính xác hơn trong tình huống cụ thể này.

Nếu bạn cần giải cụ thể hơn cho các giá trị \( y \) có thể thay thế và tính toán bình thường để được giá trị \( x \).