Để chứng minh rằng \(AM = BN\), ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

1. **Đặt câu hỏi và ký hiệu**:
- Gọi \(O\) là tâm của bán kính \( AB \).
- Gọi \(C\) và \(D\) lần lượt là các điểm trên dây \(CD\).
- Kẻ các đường thẳng \(CM\) và \(DN\) vuông góc với \(CD\), cắt \(AB\) tại \(M\) và \(N\).

2. **Xét tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \(OCM\):
- \(OM\) là đường cao từ \(O\) xuống \(CD\).
- Cạnh \(OC\) là bán kính của nửa đường tròn.
- Tương tự, trong tam giác vuông \(ODN\):
- \(ON\) là đường cao từ \(O\) xuống \(CD\).
- Cạnh \(OD\) cũng là bán kính của nửa đường tròn.

3. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Bán kính \(OA = OB\).
- Do các tính chất đối xứng của hình tròn, ta có:
- \(OM\) và \(ON\) đều là các đường vuông góc được kẻ từ \(O\) đến dây \(CD\).

4. **Áp dụng định lý Pythagoras**:
- Ta có:
\[
OC^2 = OM^2 + AM^2
\]
\[
OD^2 = ON^2 + BN^2
\]
- Vì \(OC = OD\) (cùng là bán kính), suy ra:
\[
OM^2 + AM^2 = ON^2 + BN^2
\]

5. **Kết luận**:
- Vì \(OM = ON\) (đường nối từ \(O\) vuông góc với \(CD\) tại \(M\) và \(N\) là bằng nhau), ta có thể kết luận rằng:
\[
AM^2 = BN^2 \implies AM = BN
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \(AM = BN\).