Để tìm các số nguyên dương \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3},
\]

ta có thể bắt đầu bằng cách quy về một phương trình với biến số duy nhất.

1. Nhân cả hai vế của phương trình với \( 3xy \) để loại bỏ mẫu:

\[
3y + 3x = xy.
\]

2. Sắp xếp lại phương trình:

\[
xy - 3x - 3y = 0.
\]

3. Thêm \( 9 \) vào cả hai vế để có thể khai triển được:

\[
xy - 3x - 3y + 9 = 9.
\]

4. Phương trình này có thể được viết lại thành dạng tích:

\[
(x - 3)(y - 3) = 9.
\]

5. Bây giờ, ta tìm các cặp số nguyên dương \( (x - 3) \) và \( (y - 3) \) sao cho tích của chúng bằng 9. Các phân tích của 9 thành các cặp số nguyên dương là:

- \( 1 \times 9 \)
- \( 3 \times 3 \)
- \( 9 \times 1 \)

6. Từ các cặp này, ta tính ra các giá trị của \( x \) và \( y \):

- Từ \( (1, 9) \):
\[
x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4,
\]
\[
y - 3 = 9 \Rightarrow y = 12.
\]
Cặp \( (4, 12) \).

- Từ \( (3, 3) \):
\[
x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6,
\]
\[
y - 3 = 3 \Rightarrow y = 6.
\]
Cặp \( (6, 6) \).

- Từ \( (9, 1) \):
\[
x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12,
\]
\[
y - 3 = 1 \Rightarrow y = 4.
\]
Cặp \( (12, 4) \).

7. Vậy các cặp số nguyên dương thỏa mãn là:

- \( (4, 12) \)
- \( (12, 4) \)
- \( (6, 6) \)

Kết quả cuối cùng là các cặp \( (x, y) \) là \( (4, 12), (12, 4), (6, 6) \).