Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học trong tam giác vuông, đặc biệt là tam giác vuông tại A với đường cao AH.

Trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, ta có:

1. **Đường cao AH** chia cạnh BC thành hai đoạn HB và HC.
2. **Tính độ dài cạnh BC:** Ta có:
\[
BC = HB + HC = 25 \, \text{cm} + 64 \, \text{cm} = 89 \, \text{cm}
\]

3. **Sử dụng định lý Pythagore:** Trong tam giác vuông ABC, ta có các công thức sau:
- \( AB^2 = AH^2 + HB^2 \)
- \( AC^2 = AH^2 + HC^2 \)
- \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

4. **Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:** Đường cao AH có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{HB \cdot HC}{BC}
\]
Thay giá trị vào:
\[
AH = \frac{25 \cdot 64}{89}
\]

Tính:
\[
AH = \frac{1600}{89} \approx 17.98 \, \text{cm}
\]

5. **Tính độ dài các cạnh AB và AC:** Bây giờ, để tính độ dài các cạnh AB và AC, chúng ta sẽ sử dụng công thức từ định lý Pythagore.

Đầu tiên, ta tính:
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2
\]
và
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Tính \( AH^2 \):
\[
AH^2 \approx (17.98)^2 \approx 323.04
\]

Tiếp theo:
\[
AB^2 = 323.04 + 25^2 = 323.04 + 625 = 948.04 \implies AB \approx \sqrt{948.04} \approx 30.8 \, \text{cm}
\]

Và tính cho AC:
\[
AC^2 = 323.04 + 64^2 = 323.04 + 4096 = 4419.04 \implies AC \approx \sqrt{4419.04} \approx 66.5 \, \text{cm}
\]

6. **Kết luận:**
- Độ dài cạnh BC = 89 cm.
- Độ dài cạnh AB ≈ 30.8 cm.
- Độ dài cạnh AC ≈ 66.5 cm.
- Đường cao AH ≈ 17.98 cm.

Đó là kết quả của bài toán.