Để giải bài tập này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh: Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

1. **Điều kiện hình chữ nhật**: Tứ giác AEMF là hình chữ nhật nếu:
- Hai cặp cạnh đối diện song song.
- Hai cạnh kề có độ dài bằng nhau.
- Có một góc vuông.

2. **Xét các góc**:
- Vì MF ⊥ AB và MF ⊥ AC, nên:
- Góc AMF = 90° (giữa MF và AB).
- Góc EMF = 90° (giữa MF và AC).

3. **Xét độ dài**:
- Xét hai tam giác AEM và AMF:
- AM = AM (cạnh chung).
- MF = MF (cạnh chung).
- MF ⊥ AB và MF ⊥ AC, ta có AE = EM.

4. **Kết luận**: Do đó, AEMF có 4 góc vuông và 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau. Vì vậy, AEMF là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh A, O, M thẳng hàng.

1. **Trung điểm EF**: O là trung điểm của EF, nghĩa là:
- AO = OE.
- OM = 0, tức là O nằm trên đường thẳng AM.

2. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Hai tam giác AMF và AEM là tam giác vuông tại M.
- Áp dụng định lý đường trung bình:
- AO song song với EF và O là trung điểm của EF.

3. **Kết luận**: A, O, M thẳng hàng.

### c) Xác định vị trí của điểm M trên BC để độ dài EF ngắn nhất.

1. **Độ dài EF**:
- EF là đoạn vuông góc hạ từ M xuống EF. Để EF ngắn nhất, M cần nằm trên đường thẳng EF.

2. **Cách xác định**:
- Khi M di chuyển trên tia BC, đoạn EF sẽ đạt độ dài ngắn nhất khi MF cắt EF vuông góc tại chính điểm O.

3. **Kết luận**: Điểm M nên được đặt tại vị trí mà MF cắt EF vuông góc ở O để độ dài EF đạt giá trị cực tiểu.

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc minh họa, hãy cho tôi biết!