Để chứng minh rằng tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng tính chất của các tia phân giác và tính chất của hình bình hành.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành \(ABCD\), các đối diện \(AB\) và \(CD\) song song, đồng thời các đối diện \(AD\) và \(BC\) cũng song song. Hơn nữa, góc \(A\) và góc \(C\) bằng nhau, góc \(B\) và góc \(D\) cũng bằng nhau.

2. **Tia phân giác**:
- Tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(M\).
- Tia phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AD\) tại điểm \(N\).
- Tia phân giác của góc \(C\) cắt cạnh \(AB\) tại điểm \(P\).
- Tia phân giác của góc \(D\) cắt cạnh \(CD\) tại điểm \(Q\).

3. **Tính chất của hình chữ nhật**: Tứ giác \(MNPQ\) sẽ là hình chữ nhật nếu các góc nội tại \(M\), \(N\), \(P\), và \(Q\) đều bằng \(90^\circ\).

4. **Góc tại các điểm phân giác**: Ta biết rằng mỗi tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau. Do đó:
- Tia phân giác của góc \(A\) tạo với tia phân giác của góc \(B\) và tia phân giác của góc \(D\) mỗi cặp góc là \(90^\circ\) vì \(A + B = 180^\circ\) (góc trong cùng phía).

5. **Kết luận**: Do tất cả các góc tại \(M\), \(N\), \(P\), và \(Q\) đều bằng \(90^\circ\), tứ giác \(MNPQ\) là tứ giác có các góc vuông, từ đó suy ra \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.