Để xác định đẳng thức nào sai trong các lựa chọn, chúng ta có thể sử dụng định lý về trung điểm trong không gian.

1. **Lựa chọn A:** \(\overline{IJ} = \frac{1}{2} (AC + BD)\)
2. **Lựa chọn B:** \(\overline{IJ} = \frac{1}{2} (AD + BC)\)
3. **Lựa chọn C:** \(\overline{IJ} = \frac{1}{2} (DC + AD + BD)\)
4. **Lựa chọn D:** \(\overline{IJ} = \frac{1}{2} (AB + CD)\)

### Phân tích từng lựa chọn:

1. **Lựa chọn A:** Đây là đúng nếu áp dụng định lý về trung điểm.

2. **Lựa chọn B:** Đúng nếu áp dụng định lý cho hai cạnh đối diện trong hình tứ diện.

3. **Lựa chọn C:** Không đúng theo định lý về trung điểm, do phần cộng không hợp lý với thực tế của các đoạn thẳng trong hình tứ diện.

4. **Lựa chọn D:** Đây cũng có thể là một biểu thức đúng cho trường hợp.

### Kết luận:
**Câu sai là lựa chọn C:** \(\overline{IJ} = \frac{1}{2} (DC + AD + BD)\) bởi vì công thức này không thể hiện đúng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình tứ diện.