Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình thang và tam giác, cũng như định lý về tia phân giác.

1. Gọi \( AB = a \), \( CD = b \), trong đó \( a < b \).
2. Trong hình thang cân \( ABCD \), có \( AB || CD \) và \( C = 60^\circ \).
3. Cạnh \( AD \) và \( BC \) có độ dài bằng nhau do \( ABCD \) là hình thang cân.

Theo đề bài, chiều dài hình thang \( AB + CD = a + b = 20 \, \text{cm} \).

Bây giờ ta sẽ sử dụng định lý về tia phân giác đối với góc \( D \).

Kí hiệu \( AD = BC = x \).

Ta có:
- Tam giác \( ABD \) có \( \angle ABD = \angle DCQ = 60^\circ \) (vì \( AC = BD \)).
- Trong tam giác \( ABD \), tính chiều cao từ điểm \( D \) xuống cạnh \( AB \).

Chiều cao \( h \) sẽ được tính bằng:
\[
h = x \cdot \sin(60^\circ) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

Ta cũng sẽ có:
- Độ dài đường thẳng từ điểm \( B \) đến điểm thẳng đứng của \( D \) trên cạnh \( AB \) (gọi là \( E \)) sẽ là:
\[
BE = x \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2}.
\]

4. Theo hình thang cân, tại điểm \( C \): \( CE = x \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} \).

Vì hình thang cân \( ABCD \) chia đều chiều dài giữa hai đáy, nên chiều dài đường thẳng \( CD \) sẽ là:
\[
CD = a + 2 \cdot BE = a + 2 \cdot \frac{x}{2} = a + x.
\]

Từ phương trình tổng chiều dài:
\[
a + b = 20 \implies a + (a + x) = 20 \implies 2a + x = 20.
\]

5. Tiếp theo, từ định luật Cosine trong tam giác \( ADB \):
\[
x^2 = h^2 + BE^2 \implies x^2 = \left(x \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(x \frac{1}{2}\right)^2 \implies x^2 = \frac{3x^2}{4} + \frac{x^2}{4} \implies x^2 = x^2.
\]

Điều này cho thấy rằng chúng ta không có thêm thông tin mới từ đây.

6. Thay \( x = 20 - 2a \) vào chiều cao:
\[
h = (20 - 2a) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

Cuối cùng, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{align*}
b &= 20 - a, \\
b &= a + (20 - 2a),
\end{align*}
\]
từ hệ trên, giải ra các trị số \( a \) và \( b \) sẽ cho chiều dài cạnh của hình thang cân.

Lời giải trên có thể có độ phức tạp trong tính toán, vì vậy bạn cần lập hệ phương trình chính xác hơn dựa trên hình học trực quan này. Nếu bạn biết chính xác các cạnh cho chiều dài trên, có thể dễ dàng tính toán với những giá trị cụ thể từ đó.