Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt tính từng phần:

### a) \( 4x - \sqrt{x^2 - 4x + 4} \) với \( x \geq 2 \)

Ta có:

\[
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
\]

Do đó:

\[
\sqrt{x^2 - 4x + 4} = |x - 2|
\]

Với điều kiện \( x \geq 2 \), ta có \( |x - 2| = x - 2 \). Thay vào biểu thức:

\[
4x - \sqrt{x^2 - 4x + 4} = 4x - (x - 2) = 4x - x + 2 = 3x + 2
\]

Vậy kết quả cho phần a là:

\[
\boxed{3x + 2}
\]

### b) \( 3x + \sqrt{9 + 6x + x^2} \) với \( x \leq -3 \)

Ta có:

\[
9 + 6x + x^2 = (x + 3)^2
\]

Vậy:

\[
\sqrt{9 + 6x + x^2} = |x + 3|
\]

Với điều kiện \( x \leq -3 \), ta có \( |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3 \). Thay vào biểu thức:

\[
3x + \sqrt{9 + 6x + x^2} = 3x - (x + 3) = 3x - x - 3 = 2x - 3
\]

Vậy kết quả cho phần b là:

\[
\boxed{2x - 3}
\]