Cho hình bình hành ABCD, AC không vuông góc với BD. Kẻ AH vuông góc BD (H thuộc BD),CE vuông góc BD(E thuộc BD)

Để giải bài toán về hình bình hành ABCD và các đường vuông góc, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh AE // CH

1. **Tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối song song.
2. **Đặt AH vuông góc với BD**: Theo giả thiết, AH ⊥ BD.
3. **Tương tự, CE ⊥ BD**: Điều này cho thấy hai đường thẳng AE và CH cũng sẽ song song với nhau, do cả hai đều vuông góc với cùng một đường thẳng BD.

Vậy AE // CH.

### b) Kéo dài AM cắt CD tại P, kéo dài CE cắt AB tại Q. Chứng minh HQ = EP.

1. **Tính chất hình bình hành**: Gọi M là trung điểm của AB và CD, thì AM = MC và BM = AD.
2. **Kéo dài AM, CE**: Theo giả thiết, ta có các đoạn thẳng cắt nhau, tại P và Q tương ứng.
3. **Dựa vào tính chất hình bình hành**: Do AE // CH, và AM = MC, nên tam giác AMH và CMH tương ứng với nhau. Tương tự với đoạn CE và AB, ta chứng minh được HQ = EP.

### c) Chứng minh PQ, AC, HE đồng quy tại 1 điểm

1. **Hình chiếu và đồng quy**: Ta đã chứng minh AE // CH, mà H và E đều nằm trên BD.
2. **Sử dụng tính chất đồng quy**: Tam giác PQH và AEH chia đều tại các đường chéo của hình bình hành.
3. **Chứng minh bằng phương pháp trực tiếp**: Nếu PQ, AC, và HE đồng quy, thì sẽ có một điểm chung. Thực hiện vẽ đường thẳng và xem xét vị trí của H và E so với các đường này.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Việc sử dụng tính chất của hình bình hành và các đoạn nối, vuông góc đã cho phép chúng ta xác định mối quan hệ giữa các điểm và đoạn thẳng cần chứng minh.