Để giải bài toán về chiếc gương hình tròn, chúng ta có các dữ liệu như sau:

- Độ dài hai dây treo là \(6 \, \text{dm}\) (tương đương \(60 \, \text{cm}\)).
- Góc giữa hai sợi dây treo là \(60^\circ\).

Chúng ta cần tính bán kính của chiếc gương.

1. **Chia hình thành hai tam giác**: Bán kính của gương chính là đoạn thẳng vuông góc từ điểm O (tâm gương) đến đoạn thẳng nối giữa hai điểm M và B (nơi dây tiếp xúc với gương).

2. **Áp dụng định lý cosin trong tam giác**: Đặt đoạn OM là bán kính \(r\) (bán kính cần tìm), ta có:
- Hai cạnh OM và OB đều là \(r\).
- Đoạn MB là \(6 \, \text{dm}\).

Theo định lý Cosin, ta có:
\[
MB^2 = OM^2 + OB^2 - 2 \cdot OM \cdot OB \cdot \cos(60^\circ)
\]

Thay vào giá trị:
\[
6^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
36 = 2r^2 - r^2
\]
\[
36 = r^2
\]

3. **Tính toán bán kính**:
\[
r = \sqrt{36} = 6 \, \text{dm}
\]

Vậy bán kính của chiếc gương là \(6 \, \text{dm}\), tương đương \(60 \, \text{cm}\).

Vậy câu trả lời là **6 dm**.