Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt các cạnh AB,AC thứ tự tại P và Q ; AH cắt BQ tại I..

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của hình học trong tam giác và đường tròn.

### a) Chứng minh \(P, I, C\) thẳng hàng

Xét tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\). Đường tròn cảm ứng với điểm giữa \(BC\) (tâm là \(O\), đường kính là \(BC\)) sẽ có các điểm \(P\) và \(Q\) trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) tương ứng một cách như sau:
- Đoạn thẳng \(OP\) và \(OQ\) vuông góc với \(AB\) và \(AC\), vì \(O\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

Ta cần chứng minh \(P, I, C\) thẳng hàng. Để làm điều này, ta sẽ xem xét các mối quan hệ góc.

1. Đặt \(I\) là điểm cắt của đường cao \(AH\) và đoạn \(BQ\).
2. Ta có:
- Từ tam giác \(PBI\) có \( \angle PBI = 90^\circ\) (do \(OP\) vuông góc với cạnh \(AB\)).
- Từ tam giác \(QCI\) cũng có \( \angle QCI = 90^\circ\) (do \(OQ\) vuông góc với cạnh \(AC\)).

Từ các mối quan hệ này, ta có \(\angle PBC = \angle QCB\) (bởi vì \(P, I, C\) nằm trên một đường thẳng và các góc bù nhau).

Do đó, theo định lý góc trong tam giác, ta có: \(P, I, C\) thẳng hàng.

### b) Chứng minh \(KQ\) là tiếp tuyến đường tròn \((O)\)

Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AI\).
- Ta đã biết rằng điểm \(I\) nằm trên đường cao \(AH\) và cắt \(BQ\). Do đó, \(AH\) vuông góc với \(BC\).

Theo định lý tiếp tuyến trong hình tròn, nếu một đường thẳng qua trung điểm \(AI\) là tiếp tuyến với đường tròn, thì đường thẳng này sẽ vuông góc với bán kính từ tâm đường tròn đến điểm tiếp xúc.

1. Xét đường thẳng \(KQ\) và đường tròn có tâm \(O\):
2. Xét điểm \(Q\), từ \(O\) đến \(Q\) chắc chắn là một bán kính của đường tròn này.
3. Ta có thể chứng minh rằng \(KO\) vuông góc với \(KQ\) vì \(K\) là trung điểm của \(AI\) và góc giữa \(AI\) và bán kính \(OQ\) sẽ tạo thành một góc vuông.

Vậy \(KQ\) vuông góc với đường kính \(BC\) tại điểm \(Q\), và do đó, \(KQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

=> Kết luận: \(P, I, C\) thẳng hàng và \(KQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).