Cho tam giác ABC có AB/AC=3/4 và BC-AC=6. Tính chu vi tam giác ABC

Giả sử độ dài các cạnh của tam giác ABC như sau:

- \( AB = 3k \)
- \( AC = 4k \)
- \( BC = x \)

Theo đề bài, chúng ta có:

\[
BC - AC = 6 \implies x - 4k = 6 \implies x = 4k + 6
\]

Vậy độ dài ba cạnh tam giác ABC sẽ là:

- \( AB = 3k \)
- \( AC = 4k \)
- \( BC = 4k + 6 \)

Tiến hành tính chu vi của tam giác ABC:

\[
P = AB + AC + BC = 3k + 4k + (4k + 6)
\]

Tính tổng lại:

\[
P = 3k + 4k + 4k + 6 = 11k + 6
\]

Tiếp theo, để tìm giá trị của \( k \), ta áp dụng bất đẳng thức tam giác. Trong tam giác ABC, bất đẳng thức tam giác yêu cầu mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại:

1. \( AB + AC > BC \):
\[
3k + 4k > 4k + 6 \implies 7k > 4k + 6 \implies 3k > 6 \implies k > 2
\]

2. \( AB + BC > AC \):
\[
3k + (4k + 6) > 4k \implies 7k + 6 > 4k \implies 3k + 6 > 0 \quad (luôn đúng vì k > 2)
\]

3. \( AC + BC > AB \):
\[
4k + (4k + 6) > 3k \implies 8k + 6 > 3k \implies 5k + 6 > 0 \quad (luôn đúng vì k > 2)
\]

Từ bất đẳng thức tam giác trên, ta rút ra được \( k > 2 \). Ta có thể chọn giá trị \( k = 3 \) (một giá trị lớn hơn 2, giúp tính toán dễ hơn).

Thay \( k = 3 \) vào các độ dài cạnh của tam giác:

- \( AB = 3k = 3 \times 3 = 9 \)
- \( AC = 4k = 4 \times 3 = 12 \)
- \( BC = 4k + 6 = 4 \times 3 + 6 = 12 + 6 = 18 \)

Giờ ta tính chu vi của tam giác:

\[
P = AB + AC + BC = 9 + 12 + 18 = 39
\]

Vậy chu vi tam giác \( ABC \) là:

\[
\boxed{39}
\]