Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) trong đề bài, ta cần phân tích các phần tử trong biểu thức:

\[
A = |7x - 5y| + |2z - 3x| + |xy + yz + zx - 2000|
\]

### Bước 1: Xem xét từng phần
1. **Giá trị tuyệt đối \( |7x - 5y| \)**:
- Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần \( 7x = 5y \) (tức \( y = \frac{7}{5}x \)).

2. **Giá trị tuyệt đối \( |2z - 3x| \)**:
- Tương tự, giá trị nhỏ nhất xảy ra khi \( 2z = 3x \) (tức \( z = \frac{3}{2}x \)).

3. **Giá trị tuyệt đối \( |xy + yz + zx - 2000| \)**:
- Thay \( y \) và \( z \) vào biểu thức:
\[
xy + yz + zx = x \left( \frac{7}{5}x \right) + \left( \frac{7}{5}x \right)\left( \frac{3}{2}x \right) + x\left( \frac{3}{2}x \right)
\]
- Tính từng phần:
- \( xy = \frac{7}{5}x^2 \)
- \( yz = \frac{21}{10}x^2 \)
- \( zx = \frac{3}{2}x^2 \)

- Cộng vào:
\[
xy + yz + zx = \frac{7}{5}x^2 + \frac{21}{10}x^2 + \frac{3}{2}x^2
\]
- Quy đồng mẫu, ta có:
\[
\frac{14}{10}x^2 + \frac{21}{10}x^2 + \frac{15}{10}x^2 = \frac{50}{10}x^2 = 5x^2
\]

### Bước 2: Đặt điều kiện
Áp dụng vào điều kiện:
\[
|5x^2 - 2000|
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) đạt được khi \( 5x^2 = 2000 \):
\[
x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \text{ hoặc } x = -20
\]

### Tính giá trị nhỏ nhất \( A \)
Khi \( x = 20 \):
- Tìm \( y \) và \( z \):
- \( y = \frac{7}{5} \cdot 20 = 28 \)
- \( z = \frac{3}{2} \cdot 20 = 30 \)

Kiểm tra các điều kiện:
- \( |7 \cdot 20 - 5 \cdot 28| = |140 - 140| = 0 \)
- \( |2 \cdot 30 - 3 \cdot 20| = |60 - 60| = 0 \)
- \( |xy + yz + zx - 2000| = |5 \cdot 20^2 - 2000| = |2000 - 2000| = 0 \)

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
\boxed{0}
\]