Để chứng minh các bất đẳng thức cho hai tổng \( A \) và \( B \), ta sẽ tìm cách ước lượng các giá trị này.

### Bài 1: Chứng minh \( A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{150} > \frac{1}{3} \)

1. **Sắp xếp các hạng tử**:
\[
A = \sum_{n=101}^{150} \frac{1}{n}
\]
Để chứng minh \( A > \frac{1}{3} \), ta có thể so sánh với một tích phân.

2. **Sử dụng tích phân**:
Xét tích phân:
\[
\int_{100}^{150} \frac{1}{x} \, dx
\]
\[
= \ln(150) - \ln(100) = \ln\left(\frac{150}{100}\right) = \ln(1.5)
\]

3. **So sánh với tổng**:
Tổng các hạng tử \( A \) lớn hơn giá trị của tích phân trên đoạn \([100, 150]\). Suy ra:
\[
A > \ln(1.5)
\]

4. **Tính giá trị**:
Ta biết \( \ln(1.5) \) xấp xỉ khoảng 0.405. Bây giờ, ta đã có \( A > 0.405 > \frac{1}{3} \).

### Bài 2: Chứng minh \( B = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{200} > \frac{7}{12} \)

1. **Sắp xếp các hạng tử**:
\[
B = \sum_{n=101}^{200} \frac{1}{n}
\]

2. **Sử dụng tích phân**:
Tương tự, xét tích phân:
\[
\int_{100}^{200} \frac{1}{x} \, dx
\]
\[
= \ln(200) - \ln(100) = \ln(2)
\]

3. **So sánh với tổng**:
Tổng \( B \) lớn hơn giá trị của tích phân trên đoạn \([100, 200]\).

4. **Tính giá trị**:
Ta biết \( \ln(2) \) xấp xỉ khoảng 0.693. Ta có:
\[
B > 0.693
\]
Giá trị \( \frac{7}{12} \approx 0.5833 \). Vậy,
\[
B > \frac{7}{12}
\]

### Kết luận:
- Hai bất đẳng thức đã được chứng minh:
\[
A > \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad B > \frac{7}{12}
\]