Để tìm tất cả các giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( y = -x + m \) cắt đồ thị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{x} \) tại hai điểm phân biệt \( A, B \) sao cho \( AB = \sqrt{6} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm phương trình giao điểm:**
Ta có phương trình:
\[
-x + m = \frac{x^2 - 1}{x}
\]
Nhân hai vế với \( x \) (với \( x \neq 0 \)):
\[
-x^2 + mx = x^2 - 1
\]
Sắp xếp lại để có phương trình bậc hai:
\[
2x^2 - mx - 1 = 0
\]

2. **Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt:**
Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, hệ số delta phải lớn hơn 0:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = m^2 + 8 > 0
\]
Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \( m \), vì \( m^2 + 8 \) luôn dương.

3. **Tính khoảng cách \( AB \):**
Gọi hai nghiệm của phương trình trên là \( x_1, x_2 \). Khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \) là:
\[
AB = |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right)^2} = \frac{\sqrt{m^2 + 8}}{2}
\]
Ta cần có:
\[
\frac{\sqrt{m^2 + 8}}{2} = \sqrt{6}
\]
Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn:
\[
\frac{m^2 + 8}{4} = 6 \implies m^2 + 8 = 24 \implies m^2 = 16 \implies m = \pm 4
\]

4. **Kết luận:**
Vậy các giá trị của \( m \) là \( m = 4 \) và \( m = -4 \).