Để chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác luôn thẳng hàng (điểm G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác), ta có thể sử dụng định lý Euler.

**Định lý Euler** phát biểu rằng trong một tam giác, ba điểm G (trọng tâm), H (trực tâm) và O (tâm của đường tròn ngoại tiếp) luôn thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. **Định nghĩa các điểm:**
- Trọng tâm G là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến của tam giác.
- Trực tâm H là điểm giao nhau của ba đường cao của tam giác.
- Điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. **Tính toán vị trí trọng tâm:**
- Giả sử tam giác ABC có các đỉnh A, B, C có tọa độ lần lượt là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \).
- Trọng tâm G có tọa độ là:
\[
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
\]

3. **Tính toán vị trí trực tâm:**
- Để tìm tọa độ của trực tâm H, ta cần phương trình của ba đường cao ứng với ba cạnh của tam giác. Cách tính tọa độ này khá phức tạp. Tuy nhiên, trực tâm có tính chất riêng là nằm trên các đường cao.

4. **Tính toán vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp:**
- Tâm O của đường tròn ngoại tiếp có thể được xác định thông qua các trung điểm của các cạnh và độ dốc của các cạnh (cũng tương tự như phương trình đường thẳng).

5. **Sử dụng công thức định lý Euler:**
- Theo định lý Euler, khoảng cách giữa G, H và O có mối quan hệ cụ thể. Cụ thể:
\[
OH^2 = OG^2 + GH^2
\]
- Điều này cho thấy rằng ba điểm G, H, O nằm thẳng hàng, và khoảng cách giữa chúng có thể được liên kết thông qua một tỷ lệ.

Từ các phần trên, ta có thể kết luận rằng trọng tâm G, trực tâm H và tâm O của đường tròn ngoại tiếp luôn thẳng hàng trong mọi tam giác.

**Kết luận:**
Vì vậy, ta đã chứng minh rằng trong mọi tam giác, trọng tâm, trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp là ba điểm thẳng hàng theo định lý Euler.