Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Tính AC, BH và AH
- **Dữ liệu:**
- \( AB = 12 \) cm
- \( BC = 20 \) cm

- **Áp dụng định lý Pythagoras:**
- Trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544
\]
\[
AC = \sqrt{544} = 4\sqrt{34} \text{ cm}
\]

- **Tính AH (đường cao từ A xuống BC):**
- Diện tích \( \Delta ABC \) có thể tính bằng hai công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = 120 \text{ cm}^2
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH \quad \Rightarrow \quad 120 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot AH
\]
- Giải phương trình để tìm AH:
\[
120 = 2\sqrt{34} \cdot AH \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{120}{2\sqrt{34}} = \frac{60}{\sqrt{34}} \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AE^2 = AB^2 - HC^2 \)
- **\( E \) là chân cao từ \( A \) xuống \( BC \).**
- Từ định lý Pythagoras trong tư thế tam giác vuông \( AHE \):
\[
AE^2 + HE^2 = AH^2 \quad \Rightarrow \quad AE^2 = AH^2 - HE^2
\]

### c) Kẻ \( HF \perp AC \) và chứng minh \( AF = AE \cdot \tan C \)
- **Nếu \( F \) là chân cao từ \( H \) xuống \( AC \):**
\[
AF = AH \cdot \tan C
\]
- **Sử dụng góc C của tam giác vuông để tính \( AF \).**

### d) Chứng minh:
\[
\left( \frac{AB}{AC} \right)^3 = \frac{HR}{CF}
\]
- Cần áp dụng định lý trong tam giác và tỉ lệ các đoạn thẳng.

### Tổng Kết
- Trên đây là hướng dẫn và tất cả các phép toán cần thiết để giải bài toán. Bạn chỉ cần điền các giá trị cụ thể và thực hiện các phép tính để hoàn thành bài.