Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a. Chứng minh tam giác ABC vuông.

Ta có ba cạnh của tam giác là:
- AB = 3 cm
- AC = 4 cm
- BC = 5 cm

Theo định lý Pythagore, nếu tam giác ABC vuông tại A, thì \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

- Tính \( AB^2 + AC^2 \):
\[
AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
- Tính \( BC^2 \):
\[
BC^2 = 5^2 = 25
\]

Vì \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), nên tam giác ABC là vuông tại A.

### b. Kẻ đường cao AH. Tính AH và BH.

Đối với tam giác vuông, đường cao AH có thể tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay số vào công thức:
\[
AH = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

Với BH, ta có thể sử dụng hệ thức trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}
\]

### c. Tính góc B, C.

Có thể tính góc B và C bằng hàm lượng giác:
- Tính góc B:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \Rightarrow B \approx 53.13^\circ
\]
- Tính góc C:
\[
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \Rightarrow C \approx 36.87^\circ
\]

### d. Vẽ đường vuông góc HD, HE.

Trên đường cao AH, ta nhận thấy:
- HD vuông góc với AB.
- HE vuông góc với AC.

Chúng ta có:
- AH, BC = AB, AC (chứng minh đường cao AH)

Để tính \( DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC \) có thể sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng dựa trên chiều dài các cạnh của tam giác.

Nếu cần giải thêm phần này, vui lòng cho biết!