Để chứng minh rằng \( EG \parallel AB \) cho tam giác \( ABC \) có trọng tâm \( G \), sử dụng định lý Menelaus là một cách hiệu quả. Dưới đây là các bước chứng minh:

1. **Đặt định nghĩa và ký hiệu**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( AM \).
- Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( BN \) và \( AC \).

2. **Chứng minh sự đồng quy**:
- Theo định nghĩa trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta biết rằng \( G \) chia mỗi đường trung tuyến trong tỷ lệ \( 2:1 \).
- Về vị trí của các điểm, từ \( A \) đến \( M \), \( G \) sẽ nằm giữa \( A \) và \( M \) ở tỉ lệ \( 2:1 \), tức là:

\[
AG = \frac{2}{3} AM
\]

3. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( AMC \)**:
- Theo định lý Menelaus cho tam giác \( AMC \) với đường thẳng cắt \( AC \), ta có:

\[
\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BG}{GA} = 1
\]

Trong đó \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), dẫn đến:

\[
\frac{CM}{MB} = 1
\]

4. **Tính tỉ lệ \( BG \) và \( GA \)**:
- Vì \( G \) chia \( AM \) theo tỷ lệ \( 2:1 \):

\[
\frac{BG}{GA} = \frac{1}{2}
\]

5. **Thay các tỉ lệ vào điều kiện Menelaus**:
- Thay vào biểu thức Menelaus, ta có:

\[
\frac{AE}{EC} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{AE}{EC} = 2
\]

Điều này cho thấy rằng \( E \) chia \( AC \) theo tỷ lệ \( 2:1 \).

6. **Chứng minh rằng \( EG \parallel AB \)**:
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AM \), do đó \( AG : GM = 2 : 1 \) và các tỉ lệ trên đồng nghĩa với việc đoạn \( EG \) cắt \( AC \) theo tỷ lệ \( 2:1 \).
- Từ đó theo định lý về tỉ lệ phân giác, có thể khẳng định rằng \( EG \parallel AB \).

Cuối cùng, ta có:
\[
EG \parallel AB
\]
Vậy ta đã hoàn thành xong chứng minh sử dụng định lý Menelaus.