Để giải phương trình \( x \left( x + \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^6 \), chúng ta bắt đầu từ việc đơn giản hóa bên phải.

Tính giá trị của \( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \):

\[
\left( \frac{2}{3} \right)^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x \left( x + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{64}{729}
\]

Bây giờ, mở rộng biểu thức bên trái:

\[
\left( x + \frac{1}{3} \right)^2 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}
\]

Do đó, ta có:

\[
x \left( x + \frac{1}{3} \right)^2 = x \left( x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} \right) = x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9}x
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9}x = \frac{64}{729}
\]

Tiến hành nhân cả hai vế với 729 để loại bỏ mẫu số:

\[
729x^3 + 486x^2 + 81x = 64
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc 3:

\[
729x^3 + 486x^2 + 81x - 64 = 0
\]

Để giải phương trình bậc 3 này, chúng ta có thể thử tìm nghiệm bằng cách sử dụng định lý về nghiệm của phương trình.

Thử các giá trị hợp lý như \( x = \frac{1}{3} \):

\[
729 \left( \frac{1}{3} \right)^3 + 486 \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 81 \left( \frac{1}{3} \right) - 64 = 729 \cdot \frac{1}{27} + 486 \cdot \frac{1}{9} + 81 \cdot \frac{1}{3} - 64
\]

\[
= 27 + 54 + 27 - 64 = 44 - 64 = -20 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Tiếp theo, thử nghiệm với \( x = \frac{2}{3} \):

\[
729 \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 486 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 81 \left( \frac{2}{3} \right) - 64
\]

\[
= 729 \cdot \frac{8}{27} + 486 \cdot \frac{4}{9} + 81 \cdot \frac{2}{3} - 64
\]

\[
= 216 + 216 + 54 - 64 = 216 + 216 + 54 - 64 = 422 - 64 = 358 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Dùng bảng hoặc công cụ giải phương trình bậc 3 sẽ hữu ích ở đây. Phương trình này có thể giải bằng các công thức liên quan đến nghiệm bậc 3 hoặc tìm nghiệm xấp xỉ.

Tuy nhiên, một cách khác để lấy nghiệm chính xác chính là áp dụng công cụ hỗ trợ. Sau khi thử nghiệm các nghiệm có thể, bạn sẽ tìm ra nghiệm hợp lệ.

Rốt cuộc, sau khi tìm ra các nghiệm, bạn có thể trình bày kết quả cho \( x \).

---
Trong trường hợp bạn cần một nghiệm cụ thể hoặc có một phương pháp khác để thử nghiệm, vui lòng cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ tốt hơn!