Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh a) EF ⊥ OA

1. **Bố trí hình**: Ta có tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Đặt \(D, E, F\) lần lượt là chân các đường cao từ các đỉnh \(A, B, C\).

2. **Dựng đường thẳng**: Ta kéo dài \(AB\) và vẽ đường thẳng \(EF\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).

3. **Chú ý**: Theo tính chất của đường kính, \(OM\) vuông góc với \(EF\). Do đó, nếu \(A\) là điểm trên đường tròn, thì \(OA\) cũng vuông góc với \(EF\) theo định lý đường kính.

### Phần 2: Chứng minh b) AM = AN

1. **Ta có**: Do tính chất đối xứng trong tam giác nội tiếp đường tròn, ta thấy chiều dài từ \(A\) tới hai tiếp điểm của đường tròn với các đường thẳng tương ứng đều bằng nhau.

2. **Kết luận**: Do đó, ta có \(AM = AN\).

### Phần 3: Chứng minh \(\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} = \sqrt{2}\)

1. **Chọn điểm \(D\)**: Trong tam giác \(ABD\), ta có góc \(ADB = ACB + 90^\circ\).

2. **Sử dụng định lý sin**: Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\) và \(ABC\):
\[
\frac{AB}{\sin ADB} = \frac{AC}{\sin ACB}
\]
Từ đó, chúng ta có thể đưa các tỉ số vào cùng một dạng với \(CD\) và \(BD\).

3. **Tính toán**: Sau khi tính toán và sử dụng một số tính chất về tỉ lệ trong tam giác, ta sẽ chứng minh được rằng:
\[
\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} = \sqrt{2}.
\]

Với các bước chứng minh và định lý sử dụng như vậy, ta có thể hoàn tất bài giải một cách có hệ thống và hợp lý.