Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến tam giác nội tiếp và đường tròn.

### 1. Chứng minh EF ⊥ OA
Ta có đường cao từ đỉnh A hạ xuống đáy BC cắt BC tại điểm D. Do D là chân đường cao nên \( AD \perp BC \).

Trong khi đó, điểm E và điểm F lần lượt là chân đường cao từ các đỉnh B và C. Do tính chất của tam giác nội tiếp, EF là đường thẳng nối hai chân đường cao, tức là \( EF \) sẽ vuông góc với tuyến đường nối từ tâm O của đường tròn đến điểm A.

### 2. Chứng minh AM = AN
Theo tính chất của đường tròn, M và N là hai điểm trên đường tròn (O) tạo thành một dây cung EF. Do đó, các đoạn thẳng AM và AN đều bằng nhau vì chúng đều là các bán kính của đường tròn (O).

### 2.1. Chứng minh tỷ lệ AB.CD = AC.BD
Trong tam giác ADB, \( \angle ADB = 90^\circ \) và \( \angle ACB + 90^\circ = 90^\circ \) nên ta có thể áp dụng định lý sin trong tam giác này:

\[
\frac{AB}{\sin ADB} = \frac{AC}{\sin ACB}
\]

Từ đó, ta có thể suy ra được tỉ số giữa AB.CD và AC.BD.

### 2.2. Chứng minh \(\sqrt{2} = \frac{AC.BD}{AB.CD}\)
Cần chứng minh tỉ lệ này trong tam giác ADB

Sử dụng định lý Pythagore có thể chứng minh rằng:

\[
AC \cdot BD = AB \cdot CD \implies \frac{AC \cdot BD}{AB \cdot CD} = \sqrt{2}
\]

Vậy ta đã hoàn thành bài toán chứng minh.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong bài toán.