Để chứng minh rằng \( Q = m^3 n - m n^3 \) chia hết cho 6 với \( m, n \) là các số nguyên, ta sẽ phân tích \( Q \) theo hai yếu tố chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

1. **Chia hết cho 2**:

Xét \( Q \):

\[
Q = m^3 n - m n^3 = mn(m^2 - n^2) = mn(m+n)(m-n)
\]

- Nếu \( m \) và \( n \) cùng chẵn hoặc cùng lẻ, thì \( mn \) là chẵn, do đó \( Q \) chia hết cho 2.
- Nếu \( m \) chẵn và \( n \) lẻ (hoặc ngược lại), thì \( mn \) là chẵn, do đó \( Q \) cũng chia hết cho 2.

Như vậy, \( Q \) chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3**:

Ta sẽ xem xét ba trường hợp của \( m \) và \( n \) dựa trên phép chia cho 3: \( m \equiv 0, 1, 2 \) (mod 3) và tương tự với \( n \).

- **Trường hợp 1**: \( m \equiv 0 \) (mod 3) hoặc \( n \equiv 0 \) (mod 3).
- Khi đó, ít nhất 1 trong \( mn \) là chia hết cho 3, do đó \( Q \) chia hết cho 3.

- **Trường hợp 2**: \( m \equiv 1 \) (mod 3), \( n \equiv 1 \) (mod 3).
- \( Q = 1^3 \cdot 1 - 1 \cdot 1^3 = 1 - 1 = 0 \) (mod 3).

- **Trường hợp 3**: \( m \equiv 1 \) (mod 3), \( n \equiv 2 \) (mod 3).
- \( Q = 1^3 \cdot 2 - 1 \cdot 2^3 = 2 - 8 = -6 \equiv 0 \) (mod 3).

- **Trường hợp 4**: \( m \equiv 2 \) (mod 3), \( n \equiv 1 \) (mod 3).
- \( Q = 2^3 \cdot 1 - 2 \cdot 1^3 = 8 - 2 = 6 \equiv 0 \) (mod 3).

- **Trường hợp 5**: \( m \equiv 2 \) (mod 3), \( n \equiv 2 \) (mod 3).
- \( Q = 2^3 \cdot 2 - 2 \cdot 2^3 = 16 - 16 = 0 \) (mod 3).

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng \( Q \equiv 0 \) (mod 3) trong mọi trường hợp.

Kết luận, \( Q \) chia hết cho cả 2 và 3. Do đó, \( Q \) chia hết cho \( 6 \).

Vậy \( Q = m^3 n - m n^3 \) chia hết cho 6 với \( m, n \) nguyên.