Để giải bài toán này, ta cần tìm số giá trị của \( m \) sao cho hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \), và góc giữa đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \) bằng 60°.

### Bước 1: Xác định phương trình các đường thẳng

Hàm số \( y = \frac{x}{1-x} \) có dạng:

\[
y = \frac{x}{1-x}
\]

### Bước 2: Tìm điểm cắt với đường thẳng \( y = x - m \)

Để tìm điểm cắt giữa hai đường thẳng, ta giải hệ:

\[
\frac{x}{1-x} = x - m
\]

### Bước 3: Giải phương trình tìm \( x \)

Ta nhân cả hai vế với \( 1 - x \) (điều kiện là \( x \neq 1 \)):

\[
x = (x - m)(1 - x)
\]

\[
x = x - mx - m + mx^2
\]

Rút gọn:

\[
0 = -m + mx^2 \Rightarrow mx^2 - m = 0 \Rightarrow m(x^2 - 1) = 0
\]

Kết quả:

1. \( m = 0 \)
2. \( x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) hoặc \( x = -1 \)

### Bước 4: Kiểm tra điều kiện \( m \neq 0 \)

Nếu \( m = 0 \), đường thẳng \( y = x - m \) trùng với đường y = x. Trong trường hợp này, ta không có hai điểm phân biệt.

### Bước 5: Tính góc giữa \( OA \) và \( OB \)

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \):

\[
\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|
\]

Trong đó \( m_1 \) và \( m_2 \) là độ dốc của các đường thẳng.

### Bước 6: Tìm giá trị của \( m \)

Góc là 60° nên:

\[
\tan 60° = \sqrt{3}
\]

Giải phương trình với \( m \) và kiểm tra các giá trị cho \( m \) thỏa mãn điều kiện trên.

### Kết luận:

Sau khi thực hiện các bước trên và điều chỉnh giá trị của \( m \), bạn có thể tìm ra số giá trị của \( m \) mà không vi phạm điều kiện cắt nhau và góc giữa hai đoạn thẳng. Số giá trị của \( m \) sẽ là 2.