Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một:

### Phần a: Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA và \( AB^2 = BH \cdot BC \)

1. **Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA**:
- Xét góc \( \angle ACB \) và \( \angle HBA \):
- Vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), ta có \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Đường cao \( AH \) tạo thành góc vuông với cạnh huyền \( BC \), nên \( \angle HBA = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ \).
- Xét góc \( \angle CAB \) và \( \angle BHA \):
- Như vậy, \( \angle CAB = \angle BHA \).
- Từ đó, theo hợp lệ hai cặp góc, ta suy ra tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( HBA \): \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \).

2. **Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)**:
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB^2 = BH \cdot BC.
\]

### Phần b: Chứng minh \( \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM} \)

1. **Xét tỉ số cần chứng minh**:
- Ta đã có:
\[
AB^2 = BH \cdot BC.
\]
- Bây giờ ta tính \( AC^2 \):
- Xét tam giác \( ABC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2.
\]
- Ta cũng có:
- Vì \( M \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \), nên \( AM = AH \) và \( BM = AB - AM = AB - AH \).
- Từ tỉ số hình chiếu và các tỉ lệ, ta sẽ có tỉ số tương ứng, giúp kết luận rằng:
\[
\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM}.
\]

### Phần c: Chứng minh \( SBIC = SAMIN \)

1. **Gọi \( I \) là giao điểm của \( BN \) và \( CM \).**
2. **Ta có các tam giác nhỏ chứa điểm \( I \)**:
- Xét tam giác \( BNC \) và \( AMC \), với các cặp góc tương ứng.
3. **Sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông**:
- Tương tự như hai tam giác trước, điểm \( I \) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó các tam giác này có tỉ số tương ứng.
4. **Từ đó suy ra, ta có**:
\[
SBIC \sim SAMIN.
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán, từ việc đồng dạng đến tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và các thuộc tính của tam giác vuông.