Để giải phương trình \( x^3 + y^3 = 9xy \), ta có thể sử dụng công thức phân tích đẳng thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).

Ta viết lại phương trình thành:

\[
x^3 + y^3 - 9xy = 0
\]

Áp dụng công thức trên:

\[
(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9xy
\]

Từ đó, ta có thể chia cả hai vế cho \( xy \) (với điều kiện \( xy \neq 0 \)):

\[
\frac{x + y}{xy}(x^2 - xy + y^2) = 9
\]

Đặt \( s = x + y \) và \( p = xy \), ta có \( x^2 - xy + y^2 = s^2 - 3p \). Thay vào phương trình:

\[
\frac{s}{p}(s^2 - 3p) = 9
\]

Giải phương trình này để tìm các giá trị của \( s \) và \( p \). Cuối cùng, sử dụng phương trình bậc hai để tìm các cặp \( (x, y) \).

Bây giờ, chúng ta cũng có thể kiểm tra các cặp số nguyên để tìm ra các giải pháp. Cụ thể, thử với các giá trị nhỏ cho \( x \) và \( y \):

1. \( x = 1, y = 2 \)
- \( 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 \)
- \( 9xy = 9 \times 1 \times 2 = 18 \) (không thỏa mãn)

2. \( x = 2, y = 1 \)
- \( 2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9 \)
- \( 9xy = 9 \times 2 \times 1 = 18 \) (không thỏa mãn)

3. \( x = 3, y = 0 \)
- \( 3^3 + 0^3 = 27 + 0 = 27 \)
- \( 9xy = 9 \times 3 \times 0 = 0 \) (không thỏa mãn)

Lặp lại cho các cặp khác nhau đến khi tìm thấy tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn. Các gợi ý giá trị có thể là \( (3, 3) \), \( (0, 3) \), etc.

Cuối cùng, các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn với các số tự nhiên sẽ là: \( (3, 3) \).