Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### Phần (a)
Ta biết rằng:

1. \( P(1) = 3 \) (vì \( P(x) \) chia cho \( x - 1 \) dư 3).
2. \( P(-3) = -1 \) (vì \( P(x) \) chia cho \( x + 3 \) dư -1).

Ta cần tìm đa thức dư trong phép chia đa thức \( P(x) \) cho \( x^2 + 2x - 3 \). Đa thức này có thể được phân tích thành:

\[
x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)
\]

Do \( P(1) = 3 \) và \( P(-3) = -1 \), theo định lý dư ta có thể viết \( P(x) \) dạng:

\[
P(x) = (x - 1)(x + 3)Q(x) + ax + b
\]

Trong đó \( ax + b \) là phần dư, với \( a \) và \( b \) là các hằng số.

Thay giá trị \( x = 1 \):

\[
P(1) = a(1) + b = 3 \implies a + b = 3 \quad (1)
\]

Thay giá trị \( x = -3 \):

\[
P(-3) = a(-3) + b = -1 \implies -3a + b = -1 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1), ta có:

\[
b = 3 - a
\]

Thay vào (2):

\[
-3a + (3 - a) = -1 \implies -4a + 3 = -1 \implies -4a = -4 \implies a = 1
\]
\[
b = 3 - 1 = 2
\]

Do đó, phần dư là:

\[
P(x) = (x - 1)(x + 3)Q(x) + x + 2
\]

### Phần (b)
Cho \( P(1)P(2) = 7 \).

Tính \( P(1) \):

\[
P(1) = 3
\]

Tính \( P(2) \):

\[
P(2) = (2 - 1)(2 + 3)Q(2) + 2 + 2 = 1 \cdot 5 \cdot Q(2) + 4 = 5Q(2) + 4
\]

Khi đó:

\[
P(1)P(2) = 3(5Q(2) + 4) = 7
\]

Giải phương trình:

\[
15Q(2) + 12 = 7 \implies 15Q(2) = -5 \implies Q(2) = -\frac{1}{3}
\]

Để chứng minh \( P(x) \) không có nghiệm nguyên, ta xem \( P(1) = 3 \) và \( P(2) \) có khả năng cho giá trị bội số nguyên khác; nhưng \( Q(2) \) không là số nguyên. Do đó, \( P(2) \) cũng không thể là số nguyên.

Vậy \( P(x) \) không có nghiệm nguyên.