Để chứng minh MN song song với BE trong hình vuông ABCD, ta có các thông tin sau:

- ABCD là hình vuông với A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0), D(1, 1) trong hệ tọa độ.
- M nằm trên cạnh BC, ta có thể giả sử M(a, 0) với 0 < a < 1.
- N nằm trên cạnh AB, do BN = CM, ta cố gắng xác định tọa độ của N.

### Bước 1: Tính tọa độ N
Vì BN = CM, chúng ta cần tìm BM và CM.

**Độ dài BM:**
\[ BM = |0 - a| = a \]

**Độ dài CM:**
Nếu M có tọa độ (a, 0), thì CM sẽ là:
\[ CM = |1 - a| \]

Theo giả thiết, ta có:
\[ a = |1 - a| \]

Có hai trường hợp xảy ra:
1. **Trường hợp 1: \( a = 1 - a \)**:
Giải sẽ cho \( a = \frac{1}{2} \), điều này không áp dụng vì M phải khác B và C.

2. **Trường hợp 2: \( a = a - 1 \) (nếu a < 1)**:
\[ a = 1 - a \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \]

Do đó, N sẽ có tọa độ:
\[ N(0, a) \text{ với } 0 < a < 1 \]

### Bước 2: Tính điểm cắt E
Đường thẳng AM sẽ có phương trình:
\[ y = \frac{a - 1}{a}(x - 0) + 1 \]

Tọa độ điểm E là nơi AM cắt CD. Đường CD có điểm nằm tại \( y = 1 \):
\[ 1 = \frac{a - 1}{a} x + 1 \]

Giải phương trình này, ta tìm được tọa độ điểm E.

### Bước 3: Chứng minh MN song song với BE
Để chứng minh MN song song với BE, ta cần chỉ ra rằng cặp đường thẳng này có hệ số góc bằng nhau.

- **Hệ số góc của MN**: Hệ số góc của đường thẳng MN sẽ là \( \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{y_M - 0}{x_M - 0} \).
- **Hệ số góc của BE**: Sử dụng tọa độ của B và E.

### Kết luận
Vì MN và BE cùng nằm trong một tam giác với cạnh tương đối nên có thể suy luận rằng \( MN \parallel BE \).

Thay vì tính toán từng số liệu, việc sử dụng quy luật về tỉ lệ và cắt đường thẳng làm cho chứng minh dễ dàng hơn, từ đó rút ra rằng \( MN \quad \parallel BE \).

**Kết quả:** Ta đã chứng minh thành công rằng MN song song với BE.