Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn a^2 + b^2 là số nguyên tố và a^3 + b^3 − 4 chia hết cho a^2 + b^2

Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((a, b)\) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \(a^2 + b^2\) là số nguyên tố.
2. \(a^3 + b^3 - 4\) chia hết cho \(a^2 + b^2\).

Chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện một.

### Điều kiện 1: \(a^2 + b^2\) là số nguyên tố

Số nguyên tố là một số nguyên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Điều này có nghĩa là \(a^2 + b^2 \geq 2\) vì với \(a, b\) là số nguyên dương (tối thiểu là 1).

### Điều kiện 2: \(a^3 + b^3 - 4\) chia hết cho \(a^2 + b^2\)

Ta có thể viết \(a^3 + b^3\) theo công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Vì vậy, điều kiện thứ hai có thể được viết lại là:

\[
a^3 + b^3 - 4 \equiv 0 \mod (a^2 + b^2)
\]

### Giải quyết bài toán

Để tìm các cặp \((a, b)\), ta có thể thử nghiệm cho các giá trị nhỏ của \(a\) và \(b\).

1. **Với \(a = 1, b = 1\)**:
\[
a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
a^3 + b^3 - 4 = 1^3 + 1^3 - 4 = 2 - 4 = -2
\]
Để kiểm tra điều kiện chia hết: \(-2 \mod 2 \equiv 0\) (chia hết).
Cặp \((1, 1)\) thỏa mãn.

2. **Với \(a = 1, b = 2\)**:
\[
a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
a^3 + b^3 - 4 = 1^3 + 2^3 - 4 = 1 + 8 - 4 = 5
\]
\[
5 \mod 5 \equiv 0
\]
Cặp \((1, 2)\) thỏa mãn.

3. **Với \(a = 2, b = 1\)** (đối xứng với trên):
\[
a^2 + b^2 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
a^3 + b^3 - 4 = 5
\]
Cặp \((2, 1)\) thỏa mãn.

4. **Với \(a = 2, b = 2\)**:
\[
a^2 + b^2 = 8 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

5. **Với \(a = 1, b = 3\)**:
\[
a^2 + b^2 = 10 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

6. **Với \(a = 2, b = 3\)**:
\[
a^2 + b^2 = 13 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
a^3 + b^3 - 4 = 8 + 27 - 4 = 31
\]
\[
31 \mod 13 \equiv 5 \quad (\text{không chia hết})
\]

7. **Với \(a = 3, b = 3\)**:
\[
a^2 + b^2 = 18 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Tiếp tục thử cho các cặp lớn hơn sẽ cho thấy các cặp như \( (1, 1), (1, 2) \) và \( (2, 1) \) là những cặp chính thỏa mãn cả hai điều kiện đã đề ra.

### Kết luận

Tất cả các cặp số nguyên dương \((a, b)\) thỏa mãn điều kiện là:
- \((1, 1)\)
- \((1, 2)\)
- \((2, 1)\)

Ngoài ra, việc tìm thêm các cặp số lớn hơn có thể cần thử nghiệm hoặc áp dụng các lý thuyết số sâu hơn, nhưng từ phân tích đơn giản này thì ba cặp trên là những cặp chính đáp ứng được cả hai điều kiện.