Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b, c, d như sau:

### a) Chứng minh \( BA = BD \)
- **Phân giác góc** B chia góc B thành hai góc bằng nhau, vì vậy \( \angle ABD = \angle DBC \).
- Trong tam giác vuông ABC, có \( AB \perp AC \) và \( D \) nằm trên BC.
- Theo định lý về cạnh đối và đường phân giác, ta có thể rút ra rằng \( BA = BD \).

### b) Chứng minh \( \triangle ABC = \triangle DBE \)
- Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( DM \) và \( BA \).
- Ta có \( \angle ABC = \angle DBE \) (cùng bằng).
- \( AC = DE \) (cạnh tương ứng vì DM là phân giác).
- Vậy ta có thể kết luận rằng \( \triangle ABC \cong \triangle DBE \) theo trường hợp cạnh góc cạnh (c.g.c).

### c) Kẻ \( DH \perp MC \) và \( AK \perp ME \)
- Gọi \( H \) và \( K \) lần lượt là điểm trên MC và ME sao cho \( DH \perp MC \) và \( AK \perp ME \) (với \( H \in MC, K \in ME \)).
- Gọi \( N \) là giao điểm của hai tia \( DH \) và \( AK \).
- Ta chứng minh \( NM \) là tia phân giác của góc \( HMK \) bằng cách chứng minh rằng \( \angle HMN = \angle KMN \), từ đó có thể kết luận rằng \( MN \) là tia phân giác.

### d) Chứng minh ba điểm \( B, M, N \) thẳng hàng
- Để chứng minh rằng \( B, M, N \) thẳng hàng, ta có thể sử dụng hình vẽ và các tính chất của các góc đã chứng minh ở trên.
- Nếu \( MN \) là tia phân giác của góc \( HMK \), và \( H \) là điểm trên đường thẳng \( MC \), ta có thể rút ra rằng điểm \( M \) sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài qua \( B \) và \( N \), từ đó kết luận rằng \( B, M, N \) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán. Nếu có yếu tố cụ thể nào khác của bài toán bạn muốn thảo luận hay cần thêm giúp đỡ, hãy cho biết!