Để giải bài toán này, ta sẽ giải từng phần.

### a)
\[ 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 112 \]

Ta có:
\[
2^x + 2 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 112
\]
\[
(1 + 2 + 4) \cdot 2^x = 112
\]
\[
7 \cdot 2^x = 112 \implies 2^x = \frac{112}{7} = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4
\]

### b)
\[ \left( \frac{1}{5} \right)^{x} + \left( \frac{1}{5} \right)^{x+1} + \left( \frac{1}{5} \right)^{x+2} = \frac{31}{625} \]

Biến đổi:
\[
\left( \frac{1}{5} \right)^{x} + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5} \right)^{x} + \frac{1}{25} \left( \frac{1}{5} \right)^{x} = \frac{31}{625}
\]
\[
\left( \frac{1}{5} \right)^{x} (1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}) = \frac{31}{625}
\]
Tính toán trong ngoặc:
\[
1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} = \frac{25 + 5 + 1}{25} = \frac{31}{25}
\]
Từ đó:
\[
\left( \frac{1}{5} \right)^{x} \cdot \frac{31}{25} = \frac{31}{625} \implies \left( \frac{1}{5} \right)^{x} = \frac{31}{625} \cdot \frac{25}{31} = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}
\]
Suy ra:
\[
\left( \frac{1}{5} \right)^{x} = \left( \frac{1}{5} \right)^{2} \implies x = 2
\]

### c)
\[ 5^{x+4} - 3 \cdot 5^{x+3} = 2 \cdot 5^{11} \]

Giải thích:
\[
5^{x+3}(5 - 3) = 2 \cdot 5^{11} \implies 2 \cdot 5^{x+3} = 2 \cdot 5^{11} \implies 5^{x+3} = 5^{11} \implies x+3 = 11 \implies x = 8
\]

### d)
\[ 3^{x+2} + 3^{x+2} = 9^{17} + 27^{12} \]

Sử dụng \( 9 = 3^2 \) và \( 27 = 3^3 \):
\[
3^{x+2} + 3^{x+2} = (3^2)^{17} + (3^3)^{12} \implies 2 \cdot 3^{x+2} = 3^{34} + 3^{36}
\]
\[
2 \cdot 3^{x+2} = 3^{34}(1 + 3^2) \implies 2 \cdot 3^{x+2} = 3^{34} \cdot 10
\]
Chia cả hai vế cho \( 3^{34} \):
\[
\frac{2 \cdot 3^{x+2}}{3^{34}} = 10 \implies 2 \cdot 3^{x-32} = 10 \implies 3^{x-32} = 5 \implies x - 32 = \log_3 5 \implies x \approx 32 + 1.46497 \approx 33.46497
\]

### e)
\[ 5^{(x-2)(x-3)} = \frac{6^{20}}{36^{10}} \]

\[ 36 = 6^2 \implies \frac{6^{20}}{(6^2)^{10}} = \frac{6^{20}}{6^{20}} = 1 \]
Vậy:
\( (x-2)(x-3) = 0 \) có nghiệm là \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \).

### f)
\[ (3y - 1)^{10} = (3y - 1)^{20} \]

Chia cả hai vế cho \( (3y - 1)^{10} \) (nếu \( 3y - 1 \neq 0 \)):
\[ 1 = (3y - 1)^{10} \implies 3y - 1 = 1 \implies 3y = 2 \implies y = \frac{2}{3} \]
Nếu \( 3y - 1 = 0 \) thì \( y = \frac{1}{3} \) là một nghiệm.

Tóm tắt kết quả:
- a) \( x = 4 \)
- b) \( x = 2 \)
- c) \( x = 8 \)
- d) \( x \approx 33.46497 \)
- e) \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \)
- f) \( y = \frac{2}{3} \) hoặc \( y = \frac{1}{3} \)