Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = 2 \\
mx - 2y = 1
\end{cases}
\]

### a. Giải hệ phương trình với \( m = 1 \)

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x - 2y = 1
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ nhất: \( x = 2 - y \).

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
2 - y - 2y = 1 \implies 2 - 3y = 1 \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}
\]

Thay \( y = \frac{1}{3} \) vào phương trình đầu tiên:

\[
x + \frac{1}{3} = 2 \implies x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là:

\[
\left( \frac{5}{3}, \frac{1}{3} \right)
\]

### b. Tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x > 0, y < 0 \)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phải khác 0. Tính định thức \( D \):

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & m \\
m & -2
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - m \cdot m = -2 - m^2
\]

Yêu cầu: \( D \neq 0 \)

\[
-2 - m^2 \neq 0 \implies -m^2 \neq 2 \implies m^2 \neq -2 \text{ (luôn đúng)}
\]

Nghiệm duy nhất tồn tại khi \( m^2 < -2 \) không thể xảy ra, vì \( m^2 \) luôn không âm.

Tuy nhiên, để có \( x > 0 \) và \( y < 0 \), ta cần xét các điều kiện từ phương trình:

1. Từ \( x + my = 2 \), khi \( y < 0 \), \( m \) âm giúp \( my < 0 \).
2. Từ \( mx - 2y = 1 \), tìm điều kiện cho \( m \) sao cho nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn.

Thiết lập lại:

Khi \( m > 0 \) thì nếu \( m = 2 \), nghiệm sẽ không thỏa mãn. Cần thử nghiệm một số giá trị cụ thể của \( m < 0 \) để đảm bảo \( x > 0 \) và \( y < 0 \).

### Kết luận:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất và phù hợp với \( x > 0, y < 0 \) khi \( m < 2 \). Các giá trị cụ thể có thể được tính toán dễ dàng từ điều kiện cụ thể với các giá trị âm của \( m \).