Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành từng bước cho từng phần.

**a) Chứng minh: \(\triangle ABO \sim \triangle ACF\)**

1. **Góc:** Ta có góc \( \angle AOB = \angle ACF \) (góc chung) và góc \( \angle OAB = \angle FAC \) (góc phụ).
2. **Tỉ số cạnh:** Do đó, theo định nghĩa của tam giác đồng dạng, ta có \( \triangle ABO \sim \triangle ACF \).

---

**b) Chứng minh: \(\triangle ADF \sim \triangle ABC\)**

1. **Góc:** Ta có \( \angle ADF = \angle ABC \) và \( \angle AFD = \angle ACB \) (cùng nội tiếp một cung).
2. **Tỉ số cạnh:** Vậy nên, \( \triangle ADF \sim \triangle ABC \) theo tiêu chuẩn góc-góc (AA).

---

**c) Chứng minh: \(BH \cdot CH + CH \cdot CF = BC^2\)**

1. Xét tam giác \( \triangle BHC \) với \( H \) là điểm trong.
2. Áp dụng định lý Pythagore cho các đoạn thẳng, ta có:
\[
BH^2 + CH^2 = BC^2 \quad \Rightarrow \quad BH \cdot CH + CH \cdot CF = BC^2
\]

Trên đây là các bước chứng minh cho từng yêu cầu của bài toán. Các chứng minh này cần được trình bày rõ ràng nhất có thể trong các bài làm thực tế.