Để giải bài toán này, ta sẽ đặt số bút bi cửa hàng nhập về là \( x \).

**Tuần thứ nhất:**
- Số bút bi bán được là \( \frac{4}{9}x \).

Số bút bi còn lại sau tuần thứ nhất là:
\[
x - \frac{4}{9}x = \frac{5}{9}x
\]

**Tuần thứ hai:**
- Số bút bi bán được là \( \frac{3}{5} \) của số bi còn lại:
\[
\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9}x = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x
\]

Theo đề bài, số bút bi tuần thứ nhất bán nhiều hơn số bút bi tuần thứ hai 100 cái:
\[
\frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x = 100
\]

Ta thực hiện quy đổi \( \frac{1}{3}x \) thành phân số có cùng mẫu số với \( \frac{4}{9}x \):
\[
\frac{1}{3}x = \frac{3}{9}x
\]

Thay vào phương trình:
\[
\frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = 100
\]
\[
\frac{1}{9}x = 100
\]

Giải cho \( x \):
\[
x = 100 \times 9 = 900
\]

Vậy cửa hàng nhập về **900 cái bút bi**.

**Số bút bi bán được trong từng tuần:**

- **Tuần thứ nhất:**
\[
\frac{4}{9}x = \frac{4}{9} \times 900 = 400
\]

- **Tuần thứ hai:**
\[
\frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \times 900 = 300
\]

Tóm lại, cửa hàng nhập về **900 cái bút bi**, bán trong tuần thứ nhất được **400 cái** và trong tuần thứ hai được **300 cái**.