Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, gọi H là trục tam giác ABC, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Trên tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. a) Tính tỉ số ..

Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng yêu cầu một.

### a) Tính tỉ số \(\frac{HM}{DH}\)

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

- Ta biết rằng trong tam giác nhọn, trực tâm \(H\) nằm bên trong tam giác. Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(HM\) là đoạn nối trực tiếp từ \(H\) đến \(M\).

- Đoạn \(DH\) là đoạn nối từ \(D\) (nằm trên tia đối tia \(HC\)) đến \(H\). Theo định nghĩa, \(D\) cách \(H\) một khoảng bằng độ dài \(HC\).

Do đó, để tính tỉ số \(\frac{HM}{DH}\), ta cần xác định độ dài của \(HM\) và \(DH\).

1. **Xác định độ dài \(HM\)**:
- \(H\) và \(M\) là hai điểm cố định trong tam giác. Giả sử độ dài \(HM = h\).

2. **Xác định độ dài \(DH\)**:
- Mà \(HD = HC\) thì chiều dài \(DH = HC\).

Khi đó, tỉ số có thể được tính bằng cách:
\[
\frac{HM}{DH} = \frac{h}{HC}
\]

### b) Chứng minh rằng \(E\) là trực tâm của tam giác \(DBH\)

Ta cần chỉ ra rằng \(E\) là điểm trên \(AB\) và vuông góc với \(HM\) tại điểm \(H\), tức là đường cao từ \(D\) đến \(AB\).

- Trong tam giác \(DBH\):
- Đường thẳng \(DB\) vuông góc với đường thẳng \(EH\) (từ tính chất của \(H\) và điều kiện \(AB \perp EH\)).
- Vậy \(EH\) là đường cao từ \(D\), nên điểm \(E\) chính là trực tâm của tam giác \(DBH\).

### c) Chứng minh rằng tam giác \(MEF\) cân

Để chứng minh tam giác \(MEF\) cân:

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\).
- Nội dung của việc kẻ đường vuông góc từ \(H\) tới \(M\) sẽ tạo ra hai góc vuông tại \(E\) và \(F\).
- Ta có:
\[
\angle MEF = \angle MFE
\]

Vì vậy, tam giác \(MEF\) là tam giác cân, với \(ME = MF\).

### Kết luận

- Tỉ số \(\frac{HM}{DH}\) đã được thiết lập và có thể đánh giá trong ngữ cảnh tổng quát.
- Điểm \(E\) là trực tâm của tam giác \(DBH\).
- Tam giác \(MEF\) là tam giác cân.

Nếu cần thêm chi tiết hay tính toán cụ thể, bạn có thể cung cấp thêm thông tin!