Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ các thông tin đã cho.

1. Nếu A và B cùng làm việc, họ hoàn thành công việc trong 6 ngày. Vậy, mỗi ngày họ hoàn thành:
\[
\frac{1}{6} \text{ công việc}
\]

Giả sử hiệu suất làm việc của A trong 1 ngày là \(a\) và của B là \(b\). Ta có phương trình:
\[
a + b = \frac{1}{6} \quad (1)
\]

2. Giả sử A hoàn thành công việc một mình mất \(x\) ngày. Khi đó:
\[
a = \frac{1}{x} \quad (2)
\]

3. B mất \(x + 9\) ngày để hoàn thành công việc một mình, nên:
\[
b = \frac{1}{x + 9} \quad (3)
\]

Thay (2) và (3) vào (1):
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6}
\]

Nhân cả hai vế với \(6x(x + 9)\) để loại bỏ mẫu:
\[
6(x + 9) + 6x = x(x + 9)
\]

Sắp xếp lại phương trình:
\[
6x + 54 + 6x = x^2 + 9x
\]
\[
12x + 54 = x^2 + 9x
\]
\[
x^2 - 3x - 54 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
Dùng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{3 \pm 15}{2}
\]

Nghiệm dương \(x\) sẽ là:
\[
x = \frac{18}{2} = 9
\]

Nên A làm việc một mình sẽ mất 9 ngày, và B sẽ mất:
\[
x + 9 = 9 + 9 = 18 \text{ ngày}
\]

4. Hiệu suất làm việc của A và B:
\[
a = \frac{1}{9}, \quad b = \frac{1}{18}
\]

5. A làm việc 3 ngày:
\[
\text{Công việc A đã hoàn thành} = 3a = 3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}
\]

Còn lại công việc là:
\[
1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

6. B sẽ hoàn thành \(\frac{2}{3}\) công việc còn lại. Thời gian B cần để hoàn thành là:
\[
\text{Thời gian} = \frac{\text{Khối lượng công việc}}{\text{Hiệu suất}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{18}} = \frac{2}{3} \times 18 = 12 \text{ ngày}
\]

Vậy, B sẽ cần **12 ngày** để hoàn thành phần công việc còn lại.