Để giải bài toán này, ta phân tích từng phần một.

1. **Phần a: Tính độ dài đoạn AH và số độ của AOH.**

- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- \( AB = 12 \, m \)
- \( BC = 15 \, m \)
- Để tìm \( AC \), ta sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \, m
\]

- Để tính \( AH \), ta dùng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{12 \cdot 15}{9} = 20 \, m
\]

- Số độ của góc \( AOH \) là \( 90^\circ \).

2. **Phần b: Chứng minh \( AE = AD \cdot \tan C \).**

- Ta có:
- \( C = 30^\circ \)
- \( \tan C = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

- Từ đó, \( AE = AD \cdot \tan C \) sẽ được chứng minh nếu \( AE \) được tính toán từ độ dài của các cạnh.

3. **Phần c: Chứng minh rằng \( \sin AFB \cdot \cos ABC = \frac{HK}{CF} \).**

- Sử dụng định nghĩa về hình chiếu trong tam giác và các tỉ số lượng giác, chúng ta chứng minh bằng các công thức lượng giác trong tam giác vuông, tìm các đoạn thẳng HK và CF.

Nếu bạn cần giúp đỡ chi tiết hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết!